Teorema del binomio de Newton: Fórmula, Explicación y Ejercicios Resueltos -

El teorema del binomio o binomio de Newton es una herramienta esencial en matemáticas, permitiendo expandir potencias de un binomio de manera sencilla. En este artículo te explicaremos en detalle su fórmula, ejemplos y cómo aplicarlo en problemas matemáticos.

Contenido

1 ¿Qué es el Teorema del Binomio?
2 Fórmula del Teorema del Binomio
3 Ejemplo de Aplicación
4 Ejercicios Resueltos
5 Importancia del Binomio de Newton
6 Conclusión
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¿Qué es el Teorema del Binomio?

El teorema del binomio describe cómo expandir cualquier potencia de un binomio de la forma $(a+b)^n(a + b)^n(a+b)^n$ . Fue presentado por Isaac Newton, y su relevancia es notable en álgebra y análisis matemático. Este teorema permite descomponer potencias de binomios en sumas de términos más simples, facilitando cálculos complejos.

Fórmula del Teorema del Binomio

La fórmula general del binomio de Newton es:

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

Donde:

$n$ es el exponente del binomio,
$\binom{n}{k}$ es el coeficiente binomial, calculado como $\frac{n!}{k!(n-k)!}$ ,
$a$ y $b$ son los términos del binomio.

Ejemplo de Aplicación

Para comprender mejor el teorema del binomio, consideremos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1: Expande $(x + 2)^3$

Solución

El binomio de Newton para $(a + b)^n$ es:

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

Aplicando esto a $(x + 2)^3$ :

Aquí $a = x$ y $b = 2$ .

$n = 3$ .

Entonces:

$(x + 2)^3 = \sum_{k=0}^{3} \binom{3}{k} x^{3-k} 2^k$

Calculamos cada término del sumatorio:

Para $k = 0$ :

$\binom{3}{0} x^{3-0} 2^0 = 1 \cdot x^3 \cdot 1 = x^3$

Para $k = 1$ :

$\binom{3}{1} x^{3-1} 2^1 = 3 \cdot x^2 \cdot 2 = 6x^2$

Para $k = 2$ :

$\binom{3}{2} x^{3-2} 2^2 = 3 \cdot x^1 \cdot 4 = 12x$

Para $k = 3$ :

$\binom{3}{3} x^{3-3} 2^3 = 1 \cdot x^0 \cdot 8 = 8$

Sumando todos los términos, obtenemos:

$(x + 2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

Por lo tanto, la expansión de $(x + 2)^3$ es:

$x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

Ejercicios Resueltos

A continuación, te dejamos algunos ejercicios para practicar la expansión de binomios:

Ejercicio 1: Expande $(2x - 3)^4$ .

Solución

Solución:

Para expandir $(2x - 3)^4$ utilizamos la fórmula del binomio de Newton. La fórmula general del binomio de Newton para $(a + b)^n$ es:

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

En nuestro caso particular:

$a = 2x$

$b = -3$

$n = 4$

Entonces, la fórmula se convierte en:

$(2x - 3)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} (2x)^{4-k} (-3)^k$

Ahora calculamos cada uno de los términos del sumatorio:

1. Para $k = 0$ :

$\binom{4}{0} (2x)^{4-0} (-3)^0 = 1 \cdot (2x)^4 \cdot 1 = 16x^4$

2. Para $k = 1$ :

$\binom{4}{1} (2x)^{4-1} (-3)^1 = 4 \cdot (2x)^3 \cdot (-3) = 4 \cdot 8x^3 \cdot (-3) = -96x^3$

3. Para $k = 2$ :

$\binom{4}{2} (2x)^{4-2} (-3)^2 = 6 \cdot (2x)^2 \cdot 9 = 6 \cdot 4x^2 \cdot 9 = 216x^2$

4. Para $k = 3$ :

$\binom{4}{3} (2x)^{4-3} (-3)^3 = 4 \cdot (2x) \cdot (-27) = 4 \cdot 2x \cdot (-27) = -216x$

5. Para $k = 4$ :

$\binom{4}{4} (2x)^{4-4} (-3)^4 = 1 \cdot 1 \cdot 81 = 81$

Sumando todos los términos:

$(2x - 3)^4 = 16x^4 - 96x^3 + 216x^2 - 216x + 81$

Por lo tanto, la expansión de $(2x - 3)^4$ es:

$16x^4 - 96x^3 + 216x^2 - 216x + 81$

Importancia del Binomio de Newton

El teorema del binomio es ampliamente utilizado en diversos campos de las matemáticas, como la teoría de probabilidades, la combinatoria y el cálculo. Además, es una herramienta esencial para simplificar expresiones algebraicas complejas y resolver problemas en álgebra avanzada.

Conclusión

El teorema del binomio facilita la expansión de potencias de binomios, permitiendo abordar cálculos algebraicos con mayor eficiencia. Si te interesa dominar el álgebra, este teorema es una base imprescindible para el éxito en matemáticas avanzadas.

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