Binomios conjugados

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Los binomios conjugados son una herramienta fundamental en álgebra y matemáticas. En esta publicación, exploraremos en profundidad qué son los binomios conjugados, sus características distintivas, cómo se multiplican y la importancia de su fórmula en la simplificación de expresiones. Además, examinaremos la representación gráfica de la suma por la diferencia de dos cantidades, un concepto estrechamente relacionado con los binomios conjugados.

En matemáticas, los binomios conjugados son una pareja de binomios que tienen los mismos términos pero con signos opuestos en su término medio. En otras palabras, si tenemos un binomio de la forma (a + b), su binomio conjugado será (a - b).

Los binomios conjugados tienen una propiedad especial en cuanto a su multiplicación. Cuando se multiplican dos binomios conjugados, el resultado es siempre un trinomio cuadrado perfecto. Este es un trinomio que puede ser expresado como el cuadrado de un binomio, es decir, en la forma a² – b².

La utilidad de los binomios conjugados es amplia en matemáticas. Son particularmente útiles en álgebra para simplificar expresiones y resolver ecuaciones. También se usan en cálculo para límites y derivadas.

Por ejemplo, si queremos simplificar la expresión \frac{a-b}{a^2 - b^2}, podemos multiplicar el numerador y el denominador por el binomio conjugado (a-b), obteniendo \frac{a-b}{a^2 - b^2}. Este método, conocido como multiplicación por el conjugado, se usa comúnmente para simplificar fracciones con raíces cuadradas en el denominador.

Binomios conjugados

Los binomios conjugados son dos binomios con términos exactamente iguales, donde solo se diferencia por tener uno de sus términos signo contrario.

Ejemplos:

Características de los binomios conjugados

Un binomio conjugado se caracteriza por tener dos términos con las mismas variables, pero uno con el signo positivo y el otro con el signo negativo. La multiplicación de estos binomios produce la eliminación de los términos del medio, lo que resulta en una expresión simplificada (más adelante lo veremos con detalle). Esta propiedad es útil en diversas áreas de las matemáticas, incluyendo la factorización de polinomios y la resolución de ecuaciones.

Producto de binomios conjugados

El producto de binomios conjugados es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.

Si analizamos el resultado del producto, nos damos cuenta que es una diferencia de cuadrados, es decir uno de los casos de factorización.

Binomios conjugados: Fórmula

La fórmula del binomio conjugado es (a + b)(a - b) = a^2 - b^2.

Esta expresión resulta al desarrollar el producto de los binomios aplicando la propiedad distributiva, veámoslo con detalle:

    \[ (a + b)(a - b) = a.(a - b)+b.(a - b) \]

Si aplicamos nuevamente la propiedad distributiva, nos queda:

    \[ (a + b)(a - b) = a.a - a.b+b.a - b.b \]

Operando un poco tenemos :

    \[ (a + b)(a - b) = a^2 - a.b+b.a - b^2 \]

Y como a.b es lo mismo que b.a y en este caso tenemos un término sumando y otro restando, podemos eliminar ambos términos de lo que resulta:

    \[ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \]

Que es la fórmula correspondiente al producto notable de la suma por la diferencia, también conocido como el producto de binomios conjugados

Esta fórmula es esencial en el álgebra y se utiliza para simplificar y factorizar expresiones algebraicas. Al comprender y aplicar esta fórmula, los estudiantes pueden abordar una variedad de problemas de manera más eficiente y precisa.

Representación gráfica de la suma por la diferencia de 2 cantidades

Cuando los números a y b son positivos, y a es mayor o igual que b, el producto de binomios conjugados puede visualizarse de forma geométrica. Esta representación implica restar el área de un rectángulo con área a^2 a otro con área b^2. Se verifica entonces que el área restante es equivalente a la de un rectángulo con lados de longitud (a – b) y (a + b). Este concepto se ilustra de manera interactiva en la siguiente gráfica (desliza el controlador situado en la parte inferior derecha para reproducirla):

Nota que el área resultante al «quitar» b^2 es la suma de a(a-b)+b(a-b), que al extraer el factor común (a-b) nos da:

    \[  a^2 - b^2=a(a-b)+b(a-b)=(a + b)(a - b)\]

Que es precisamente el producto notable que estamos estudiando

Ejemplos de productos con binomios conjugados

Resolver los siguientes productos:

Ejercicio 1: (2x + 1)(2x - 1)

Solución


Identificamos cada término y aplicamos la fórmula del producto para binomios conjugados:

    \[ =(2x)^{2} - (1)^{2} \]

    \[ = 4x^{2} - 1 \]

Ejercicio 2: (3x^{2} + 1)(3x^{2} - 1)

Solución


Identificamos cada término y aplicamos la fórmula del producto para binomios conjugados:

    \[ =(3x^{2})^{2} - (1)^{2} \]

    \[ = 9x^{4} - 1 \]

Ejercicio 3: (4y + 2)(4y - 2)

Solución


Identificamos cada término y aplicamos la fórmula del producto para binomios conjugados:

    \[ =(4y)^{2} - (2)^{2} \]

    \[ = 16y^{2} - 4 \]

Ejercicio 4: (5z^{3} + 3)(5z^{3} - 3)

Solución


Identificamos cada término y aplicamos la fórmula del producto para binomios conjugados:

    \[ =(5z^{3})^{2} - (3)^{2} \]

    \[ = 25z^{6} - 9 \]

Ejercicio 5: (a + b)(a - b)

Solución


Identificamos cada término y aplicamos la fórmula del producto para binomios conjugados:

    \[ =(a)^{2} - (b)^{2} \]

    \[ = a^{2} - b^{2} \]

Ejercicio 6: (2m + n)(2m - n)

Solución


Identificamos cada término y aplicamos la fórmula del producto para binomios conjugados:

    \[ =(2m)^{2} - (n)^{2} \]

    \[ = 4m^{2} - n^{2} \]

Ejercicio 7: (x^{2} + 3)(x^{2} - 3)

Solución


Identificamos cada término y aplicamos la fórmula del producto para binomios conjugados:

    \[ =(x^{2})^{2} - (3)^{2} \]

    \[ = x^{4} - 9 \]

Ejercicio 8: (2p^{2} - 5)(2p^{2} + 5)

Solución


Identificamos cada término y aplicamos la fórmula del producto para binomios conjugados:

    \[ =(2p^{2})^{2} - (5)^{2} \]

    \[ = 4p^{4} - 25 \]

Ejercicio 9: (3q + 4r)(3q - 4r)

Solución


Identificamos cada término y aplicamos la fórmula del producto para binomios conjugados:

    \[ =(3q)^{2} - (4r)^{2} \]

    \[ = 9q^{2} - 16r^{2} \]

Ejercicio 10: (2x^{3} + 7)(2x^{3} - 7)

Solución


Identificamos cada término y aplicamos la fórmula del producto para binomios conjugados:

    \[ =(2x^{3})^{2} - (7)^{2} \]

    \[ = 4x^{6} - 49 \]

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