Binomios conjugados

Los binomios conjugados son una herramienta fundamental en álgebra y matemáticas. En esta publicación, exploraremos en profundidad qué son los binomios conjugados, sus características distintivas, cómo se multiplican y la importancia de su fórmula en la simplificación de expresiones. Además, examinaremos la representación gráfica de la suma por la diferencia de dos cantidades, un concepto estrechamente relacionado con los binomios conjugados.

Binomios conjugados

Los binomios conjugados son dos binomios con términos exactamente iguales, donde solo se diferencia por tener uno de sus términos signo contrario.

Ejemplos:

Características de los binomios conjugados

Un binomio conjugado se caracteriza por tener dos términos con las mismas variables, pero uno con el signo positivo y el otro con el signo negativo. La multiplicación de estos binomios produce la eliminación de los términos del medio, lo que resulta en una expresión simplificada (más adelante lo veremos con detalle). Esta propiedad es útil en diversas áreas de las matemáticas, incluyendo la factorización de polinomios y la resolución de ecuaciones.

Producto de binomios conjugados

El producto de binomios conjugados es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.

Si analizamos el resultado del producto, nos damos cuenta que es una diferencia de cuadrados, es decir uno de los casos de factorización.

Binomios conjugados: Fórmula

La fórmula del binomio conjugado es (a + b)(a - b) = a^2 - b^2.

Esta expresión resulta al desarrollar el producto de los binomios aplicando la propiedad distributiva, veámoslo con detalle:

    \[ (a + b)(a - b) = a.(a - b)+b.(a - b) \]

Si aplicamos nuevamente la propiedad distributiva, nos queda:

    \[ (a + b)(a - b) = a.a - a.b+b.a - b.b \]

Operando un poco tenemos :

    \[ (a + b)(a - b) = a^2 - a.b+b.a - b^2 \]

Y como a.b es lo mismo que b.a y en este caso tenemos un término sumando y otro restando, podemos eliminar ambos términos de lo que resulta:

    \[ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \]

Que es la fórmula correspondiente al producto notable de la suma por la diferencia, también conocido como el producto de binomios conjugados

Esta fórmula es esencial en el álgebra y se utiliza para simplificar y factorizar expresiones algebraicas. Al comprender y aplicar esta fórmula, los estudiantes pueden abordar una variedad de problemas de manera más eficiente y precisa.

Representación gráfica de la suma por la diferencia de 2 cantidades

Cuando los números a y b son positivos, y a es mayor o igual que b, el producto de binomios conjugados puede visualizarse de forma geométrica. Esta representación implica restar el área de un rectángulo con área a^2 a otro con área b^2. Se verifica entonces que el área restante es equivalente a la de un rectángulo con lados de longitud (a – b) y (a + b). Este concepto se ilustra de manera interactiva en la siguiente gráfica (desliza el controlador situado en la parte inferior derecha para reproducirla):

Nota que el área resultante al «quitar» b^2 es la suma de a(a-b)+b(a-b), que al extraer el factor común (a-b) nos da:

    \[  a^2 - b^2=a(a-b)+b(a-b)=(a + b)(a - b)\]

Que es precisamente el producto notable que estamos estudiando

Ejemplos de productos con binomios conjugados

Resolver los siguientes productos:

Ejercicio 1: (2x + 1)(2x - 1)

Solución


Identificamos cada término y aplicamos la fórmula del producto para binomios conjugados:

    \[ =(2x)^{2} - (1)^{2} \]

    \[ = 4x^{2} - 1 \]

Ejercicio 2: (3x^{2} + 1)(3x^{2} - 1)

Solución


Identificamos cada término y aplicamos la fórmula del producto para binomios conjugados:

    \[ =(3x^{2})^{2} - (1)^{2} \]

    \[ = 9x^{4} - 1 \]

Ejercicio 3: (4y + 2)(4y - 2)

Solución


Identificamos cada término y aplicamos la fórmula del producto para binomios conjugados:

    \[ =(4y)^{2} - (2)^{2} \]

    \[ = 16y^{2} - 4 \]

Ejercicio 4: (5z^{3} + 3)(5z^{3} - 3)

Solución


Identificamos cada término y aplicamos la fórmula del producto para binomios conjugados:

    \[ =(5z^{3})^{2} - (3)^{2} \]

    \[ = 25z^{6} - 9 \]

Ejercicio 5: (a + b)(a - b)

Solución


Identificamos cada término y aplicamos la fórmula del producto para binomios conjugados:

    \[ =(a)^{2} - (b)^{2} \]

    \[ = a^{2} - b^{2} \]

Ejercicio 6: (2m + n)(2m - n)

Solución


Identificamos cada término y aplicamos la fórmula del producto para binomios conjugados:

    \[ =(2m)^{2} - (n)^{2} \]

    \[ = 4m^{2} - n^{2} \]

Ejercicio 7: (x^{2} + 3)(x^{2} - 3)

Solución


Identificamos cada término y aplicamos la fórmula del producto para binomios conjugados:

    \[ =(x^{2})^{2} - (3)^{2} \]

    \[ = x^{4} - 9 \]

Ejercicio 8: (2p^{2} - 5)(2p^{2} + 5)

Solución


Identificamos cada término y aplicamos la fórmula del producto para binomios conjugados:

    \[ =(2p^{2})^{2} - (5)^{2} \]

    \[ = 4p^{4} - 25 \]

Ejercicio 9: (3q + 4r)(3q - 4r)

Solución


Identificamos cada término y aplicamos la fórmula del producto para binomios conjugados:

    \[ =(3q)^{2} - (4r)^{2} \]

    \[ = 9q^{2} - 16r^{2} \]

Ejercicio 10: (2x^{3} + 7)(2x^{3} - 7)

Solución


Identificamos cada término y aplicamos la fórmula del producto para binomios conjugados:

    \[ =(2x^{3})^{2} - (7)^{2} \]

    \[ = 4x^{6} - 49 \]

Este sitio web utiliza cookies para que usted tenga la mejor experiencia de usuario. Si continúa navegando está dando su consentimiento para la aceptación de las mencionadas cookies y la aceptación de nuestra política de cookies, pinche el enlace para mayor información.plugin cookies

ACEPTAR
Aviso de cookies