Trinomio al cubo

El trinomio al cubo al igual que el trinomio al cuadrado cuenta con una formula directa para acortar procedimiento en la resolución de ejercicios.

Trinomio al cubo

El trinomio al cubo es igual al cubo del primer termino, más el cubo del segundo termino, mas el cubo del tercer termino, mas tres veces el producto de la suma del primero mas el segundo, por la suma del primero por el tercero por el segundo por el tercero.

Es decir:

Dicha expresión resulta de multiplicar tres veces el trinomio, iniciando por el primer termino a cada elemento del siguiente trinomio. El producto resultante se multiplica por el tercer trinomio.

Sin embargo, puedes notar que al final de esta fórmula encontramos un producto de 3 binomios que podemos desarrollar siguiendo la misma lógica anterior (aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma) y así obtenemos la fórmula completa desarrollada para el trinomio al cuadrado.

Fórmula completa para el trinomio al cuadrado

El cuadrado de un trinomio es igual a la suma de los cubos de los 3 términos más el triple del producto del cuadrado del primer término por el segundo más el triple del cuadrado del primer término por el tercer término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo más el triple del cuadrado del segundo término por el tercer término, más el triple del primer término por el cuadrado del tercer término más el triple del producto del segundo término por el cuadrado del tercer término, más seis veces el producto de los 3 términos.

Es decir:

    \[(a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3ab^{2}+3b^{2}c+3ac^{2}+3bc^{2}+6abc\]

Ahora, aunque pueda parecer un poco complicado memorizarlo, realmente es más fácil de lo que aparenta, nota que es el cubo de cada término, mas la suma del triple de los productos de cada término al cuadrado por los otros dos mas 6 veces el producto de los 3 términos.

Ejercicios de trinomio al cubo

Ejercicio 1

    \[( x + 3 y + 5 ) ^ { 3 }\]

Solución

    \[x=a\]

    \[3y=b\]

    \[5=c\]

    \[=(x)^ { 3 } +(3y)^ { 3 } +(5)^ { 3 } +3(x+2y)(x+5)(3y+5)\]

    \[=(x)^ { 3 } +27y^ { 3 } +125^ { 3 } +3(x+2y)(x+5)(3y+5)\]

Ejercicio 2

    \[( x^ { 2} +  y -1 ) ^ { 3 }\]

Solución

    \[=( x^ { 2})^ { 3} +  (y)^ { 3} -(1)^ { 3}  +3(x^ { 2}+y)(x^ { 2}-1)(y-1)}\]

    \[=x^ { 5} +  y^ { 3} -1 +3(x^ { 2}+y)(x^ { 2}-1)(y-1)}\]

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