Trinomio de la forma x^2+bx+c

La factorización de trinomios de la forma ax^2 + bx + c es esencial para simplificar ecuaciones, resolver problemas matemáticos y comprender la estructura subyacente de las funciones cuadráticas. En este artículo, exploraremos qué son los trinomios de la forma x^2 + bx + c, cómo se lleva a cabo su factorización y proporcionaremos ejercicios prácticos para afianzar este concepto.

¿Qué es un trinomio de la forma x2 + bx + c?

Un trinomio de la forma x^2 + bx + c es un polinomio cuadrático compuesto por tres términos, donde el primer término es un cuadrado perfecto de x, el segundo término es una variable lineal acompañada de un coeficiente (b) llamado coeficiente lineal y el tercer término es una constante independiente (c).

Este tipo de trinomios es comúnmente encontrado en diversas aplicaciones matemáticas y es crucial comprender cómo factorizarlo para resolver ecuaciones cuadráticas y problemas relacionados.

Factorización de trinomios de la forma x^2+bx+c

Este trinomio es el resultado del producto notable de dos binomio con un término común. Para resolver la factorización seguimos los siguientes pasos:

  1. Se deben hallar dos números cuyo producto sea igual al término independiente (c) y cuya suma sea el valor del coeficiente del segundo termino (b).
  2. Se calcula la raíz cuadrada del primer termino.
  3. Escribimos dos pares de paréntesis, en ambos se refleja el resultado de la raíz cuadrada.
  4. Por último escribimos en cada paréntesis los números obtenidos en el paso 1; un valor por paréntesis, separados por el signo correspondiente para que conforme el valor del segundo término.

Ejercicios de factorización de trinomios de la forma x^2+bx+c

Ejercicio 1.  x^{2}+7x+12

Solución

Paso 1: Hallamos dos números cuyo producto sea 12 y cuya suma sea 7, en este caso los números son 4 y 3, ya que:

12=4.3 y 7=4+3

Paso 2: Calculamos la raíz del primer término:

    \[\sqrt{x^{2}}=x\]

Paso 3: Añadimos la raíz encontrada en el paso 2:

    \[x^{2}+7x+12=(x\hspace{0.6cm})(x\hspace{0.6cm})\]

Paso 4: Agregamos los números definidos en el paso 1.

    \[x^{2}+7x+12=(x+4)(x+3)\]

Ejercicio 2.  x^{2}+5x+6

Solución

Paso 1: Buscamos dos números cuyo producto sea 6 y cuya suma sea 5. En este caso, los números son 2 y 3, ya que 6 = 2 \times 3 y 5 = 2 + 3.

Paso 2: Calculamos la raíz del primer término: \sqrt{x^{2}} = x.

Paso 3: Añadimos la raíz encontrada en el Paso 2: x^{2} + 5x + 6 = (x\hspace{0.6cm})(x\hspace{0.6cm}).

Paso 4: Agregamos los números definidos en el Paso 1: x^{2} + 5x + 6 = (x+2)(x+3).

Ejercicio 3.  x^{2}+9x+14

Solución

Paso 1: Encontramos dos números cuyo producto sea 14 y cuya suma sea 9. Los números son 7 y 2, ya que 14 = 7 \times 2 y 9 = 7 + 2.

Paso 2: Calculamos la raíz del primer término: \sqrt{x^{2}} = x.

Paso 3: Añadimos la raíz encontrada en el Paso 2: x^{2} + 9x + 14 = (x\hspace{0.6cm})(x\hspace{0.6cm}).

Paso 4: Agregamos los números definidos en el Paso 1: x^{2} + 9x + 14 = (x+7)(x+2).

Ejercicio 4.  x^{2}-3x-10

Solución

Paso 1: Hallamos dos números cuyo producto sea -10 y cuya suma sea -3. Los números son -5 y 2, ya que -10 = -5 \times 2 y -3 = -5 + 2.

Paso 2: Calculamos la raíz del primer término: \sqrt{x^{2}} = x.

Paso 3: Añadimos la raíz encontrada en el Paso 2: x^{2} - 3x - 10 = (x\hspace{0.6cm})(x\hspace{0.6cm}).

Paso 4: Agregamos los números definidos en el Paso 1: x^{2} - 3x - 10 = (x-5)(x+2). Aprecia que en este caso, el signo del «5» define el signo que separa dicho término, esto sucede siempre.

Ejercicio 5.  x^{2}+2x-15

Solución

Paso 1: Encontramos dos números cuyo producto sea -15 y cuya suma sea 2. Los números son 5 y -3, ya que -15 = 5 \times -3 y 2 = 5 - 3.

Paso 2: Calculamos la raíz del primer término: \sqrt{x^{2}} = x.

Paso 3: Añadimos la raíz encontrada en el Paso 2: x^{2} + 2x - 15 = (x\hspace{0.6cm})(x\hspace{0.6cm}).

Paso 4: Agregamos los números definidos en el Paso 1: x^{2} + 2x - 15 = (x+5)(x-3).

Ejercicio 6.  x^{2}-11x+28

Solución

Paso 1: Hallamos dos números cuyo producto sea 28 y cuya suma sea -11. Los números son -4 y -7, ya que 28 = -4 \times -7 y -11 = -4 - 7.

Paso 2: Calculamos la raíz del primer término: \sqrt{x^{2}} = x.

Paso 3: Añadimos la raíz encontrada en el Paso 2: x^{2} - 11x + 28 = (x\hspace{0.6cm})(x\hspace{0.6cm}).

Paso 4: Agregamos los números definidos en el Paso 1: x^{2} - 11x + 28 = (x-4)(x-7).

Ejercicio 7.  x^{2}+4x-12

Solución

Paso 1: Encontramos dos números cuyo producto sea -12 y cuya suma sea 4. Los números son 6 y -2, ya que -12 = 6 \times -2 y 4 = 6 - 2.

Paso 2: Calculamos la raíz del primer término: \sqrt{x^{2}} = x.

Paso 3: Añadimos la raíz encontrada en el Paso 2: x^{2} + 4x - 12 = (x\hspace{0.6cm})(x\hspace{0.6cm}).

Paso 4: Agregamos los números definidos en el Paso 1: x^{2} + 4x - 12 = (x+6)(x-2).

Ejercicio 8.  x^{2}-5x+6

Solución

Paso 1: Hallamos dos números cuyo producto sea 6 y cuya suma sea -5. Los números son -2 y -3, ya que 6 = -2 \times -3 y -5 = -2 - 3.

Paso 2: Calculamos la raíz del primer término: \sqrt{x^{2}} = x.

Paso 3: Añadimos la raíz encontrada en el Paso 2: x^{2} - 5x + 6 = (x\hspace{0.6cm})(x\hspace{0.6cm}).

Paso 4: Agregamos los números definidos en el Paso 1: x^{2} - 5x + 6 = (x-2)(x-3).

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