Regla de Ruffini

Si consultaste la pagina de división de polinomios en la cual te presentamos una alternativa para dividir llamado La regla de Ruffini que valga mencionar, también es utilizado como método de factorización de polinomios, a continuación ampliaremos conocimientos sobre esta regla.

Regla de Ruffini

La regla de Ruffini es conocida también como método de división sintética, siendo un algoritmo que permite obtener fácilmente el cociente y el residuo de la división de un polinomio por un binomio de la forma x-a, donde (a) puede ser positivo o negativo.

Es de acotar que con este método o regla no solo logramos la  división de un polinomio entre un binomio, también encontramos las raíces de un polinomio para factorizarlo, por tanto si consulta la pagina de factorización encontraras entre los casos el método o regla de Ruffini

Procedimiento de la regla de Ruffini

Para exponer el procedimiento de regla de Ruffini como un caso de división de polinomio, lo realizaremos con un ejercicio:

    \[\frac{-5x+3x^{2}-2}{x-2}\]

1.- Se ordena el polinomio de forma decreciente completamos el polinomio si es necesario.

    \[\frac{3x^{2}-5x-2}{x-2}\]

2.- Escribimos los coeficientes del dividendo respetando el orden y signo. El termino independiente del divisor se escribe en la parte inferior izquierda con signo contrario.

3.- Se baja el primer coeficiente y lo multiplicamos por el termino independiente del divisor, el resultado se escribe debajo del segundo coeficiente, realizando la operación según el signo.

4.- El procedimiento anterior se repite con el resultado de la suma o resta.

Donde cero (0) es el resto, los coeficientes 3 y 1 son los coeficientes del cociente, es importante destacar que cuando aplicamos Ruffini como regla de división no necesariamente debe dar cero al final.

5.- El resultado de la división es la suma algebraica, anexando a cada coeficiente la variable iniciando de derecha a izquierda, es decir, el primer termino de la derecha es el independiente, el según es (x), el tercero es x elevado al cuadrado y así sucesivamente dependiendo la cantidad de coeficiente que posee el caso. Dicha expresión algebraica es multiplicada por el divisor cambiando su signo.

Como podemos observar cuando X toma el valor de 2 hace cero al polinomio, por tanto este número es una raíz o cero del polinomio.

Factorización por regla de Ruffini

Para factorizar con la regla de Ruffini, el procedimiento es parecido a la división, ordenamos y completamos el polinomio, seleccionamos una posible raíz del polinomio en estudio, que por lo general son múltiplos del termino independiente, ya sea positivos ó negativos, ubicándolo como el paso 2 de división. Seguidamente se  cumple con los pasos 3 y 4, con la diferencia que el último resultado debe ser cero (0), de no ocurrir ésto se debe intentar con otro número.

Este procedimiento se repite hasta  solo quedar el primer coeficiente del polinomio original o en estudio.

Ejercicios de factorización de un polinomio aplicando la regla de Ruffini

Factorizar por regla de Ruffini los siguientes polinomios:

Ejercicio 1. {x^{3}-2x^{2}-x+2}

Solución

Vamos a factorizar el polinomio x^3 - 2x^2 - x + 2 empleando el método de Ruffini.

Paso 1: ordenamos y completamos el polinomio
El polinomio dado es x^3 - 2x^2 - x + 2. Dado que es un polinomio completo y está ordenado de manera descendiente, no es necesario hacer nada más.

Paso 2: determinamos las posibles raíces
Las posibles raíces son los factores del término independiente, que es 2, divididos por los factores del coeficiente principal, que es 1. Entonces, las posibles raíces son \pm1 y \pm2.

Paso 3: Comenzar con una posible raíz
Empecemos con x = 1. Realizamos la división por Ruffini:

    \[ \begin{array}{c|cccc} 1 & 1 & -2 & -1 & 2 \\ \hline & 1 & -1 & -2 & 0 \\ \end{array} \]

El residuo es 0, lo que significa que x = 1 es una raíz del polinomio.

Paso 4: Probamos con las otras raíces
Ahora, tenemos la ecuación cuadrática x^2 - x - 2. Procedemos a encontrar las otras dos raíces utilizando el mismo método.

Intentamos con x = -1:

    \[ \begin{array}{r|rrrr} & 1 & -2 & -1 & 2\\ 1 & & 1 & -1 & -2\\ \hline & 1 & -1 & -2 & 0\\ -1& & -1 & 2&\\ \hline & 1 & -2 & 0 & \end{array} \]

El residuo es 0, lo que significa que x = -1 es otra raíz del polinomio.

Paso 5: Probamos con otra raíz, intentemos con x = 2:

\begin{array}{r|rrrr}
& 1 & -2 & -1 & 2\\
1 & & 1 & -1 & -2\\
\hline
& 1 & -1 & -2 & 0\\
-1& & -1 & 2&\\
\hline
& 1 & -2 & 0 & \\
2& & 2 & 0 &\\
\hline
& 1 & 0 & 0 &
\end{array}

Obtenemos residuo 0, lo que significa que x = 2 no es una raíz.

Paso 6: Conclusión
Hemos encontrado tres raíces del polinomio: x = 1, x = -1, y x = 2. Entonces, el polinomio original se puede factorizar como (x - 1)(x + 1)(x - 2).

Ejercicio 2. {x^{4}+x^{3}-7x^{2}-x+6}

Solución

Vamos a factorizar el polinomio x^{4}+x^{3}-7x^{2}-x+6 utilizando el método de Ruffini.

Paso 1: Ordenamos y completamos el polinomio
El polinomio dado es x^{4}+x^{3}-7x^{2}-x+6. Dado que está ordenado de manera descendente y completo, no es necesario hacer nada más.

Paso 2: Determinamos las posibles raíces
Las posibles raíces son los factores del término independiente, que es 6, divididos por los factores del coeficiente principal, que es 1. Entonces, las posibles raíces son \pm1, \pm2, \pm3, \ y \pm6.

Paso 3: Comenzamos con una posible raíz
Empecemos con x = 1. Realizamos la división por Ruffini:

    \[ \begin{array}{c|ccccc} & 1 & 1 & -7 & -1 & 6 \\ 1& & 1 & 2 & -5 & -6 \\ \hline & 1 & 2 & -5 & -6 & 0 \\ \end{array} \]

El residuo es 0, lo que significa que x = 1 es una raíz del polinomio.

Paso 4: Probamos con las otras raíces. Procedemos a encontrar las otras raíces utilizando el mismo método.

Intentamos con x = -1:

    \[ \begin{array}{c|ccccc} & 1 & 1 & -7 & -1 & 6 \\ 1& & 1 & 2 & -5 & -6 \\ \hline & 1 & 2 & -5 & -6 & 0 \\ -1 & & -1 & -1 & 6 & \\ \hline & 1 & 1 & -6 & 0 & \\ \end{array} \]

El residuo es 0, lo que significa que x = -1  es otra raíz del polinomio.

Paso 5: Probamos con otra raíz, intentemos con x = 2:

    \[ \begin{array}{c|ccccc} & 1 & 1 & -7 & -1 & 6 \\ 1& & 1 & 2 & -5 & -6 \\ \hline & 1 & 2 & -5 & -6 & 0 \\ -1 & & -1 & -1 & 6 & \\ \hline & 1 & 1 & -6 &0 & \\ 2& & 2 & 6 & & \\ \hline & 1 & 3 & 0 & & \\ \end{array} \]

El residuo es 0, lo que significa que x = 2 es otra raíz del polinomio.

Paso 6:  Ya vemos que el polinomio restante al aplicara Ruffini es  (x +3) de lo que podemos deducir que -3 es otra raíz.

Paso 7: Conclusión
Hemos encontrado cuatro raíces del polinomio: x = 1, x = -1, x = 2, y x = -3. Entonces, el polinomio original se puede factorizar como (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 3).

Ejercicio 3. {x^{4}-5x^{3}+7x^{2}+3x-18}

Solución

Vamos a factorizar el polinomio x^4 - 5x^3 + 7x^2 + 3x - 18 utilizando el método de Ruffini.

Paso 1: Ordenamos y completamos el polinomio
El polinomio dado es x^4 - 5x^3 + 7x^2 + 3x - 18. Dado que está ordenado de manera descendente y completo, no es necesario hacer nada más.

Paso 2: Determinamos las posibles raíces
Las posibles raíces son los factores del término independiente, que es -18, divididos por los factores del coeficiente principal, que es 1. Entonces, las posibles raíces son \pm1, \pm2, \pm3, \pm6, \pm9, y \pm18.

Paso 3: Comenzamos con una posible raíz
Empecemos con x = 1. Realizamos la división por Ruffini:

    \[ \begin{array}{c|ccccc} 1 & 1 & -5 & 7 & 3 & -18 \\ \hline & 1 & -4 & 3 & 6 & 0 \\ \end{array} \]

El residuo es 0, lo que significa que x = 1 es una raíz del polinomio.

Paso 4: Probamos con las otras raíces
Ahora, tenemos la ecuación cúbica x^3 - 4x^2 + 3x + 6. Procedemos a encontrar las otras raíces utilizando el mismo método.

Intentamos con x = -1:

    \[ \begin{array}{r|ccccc} & 1 & -5 & 7 & 3 & -18 \\ -1 & & 1 & -4 & 3 & 6 \\ \hline & 1 & -6 & 3 & 6 & 0 \\ \end{array} \]

El residuo es 0, lo que significa que x = -1 es otra raíz del polinomio.

Paso 5: Probamos con otra raíz, intentemos con x = 2:

    \[ \begin{array}{r|ccccc} & 1 & -5 & 7 & 3 & -18 \\ 2 & & 1 & -4 & 3 & 6 \\ \hline & 1 & -3 & 3 & 6 & 0 \\ \end{array} \]

El residuo es 0, lo que significa que x = 2 es otra raíz del polinomio.

Paso 6: Probamos con otra raíz, intentemos con x = -2:

    \[ \begin{array}{r|ccccc} & 1 & -5 & 7 & 3 & -18 \\ -2 & & 1 & -4 & 3 & 6 \\ \hline & 1 & -7 & -5 & -9 & 0 \\ \end{array} \]

El residuo es 0, lo que significa que x = -2 es otra raíz del polinomio.

Paso 7: Conclusión
Hemos encontrado cuatro raíces del polinomio: x = 1, x = -1, x = 2, y x = -2. Entonces, el polinomio original se puede factorizar como (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2).

Ejercicio 4. {x^{5}-4x^{4}+4x^{3}+8x^{2}-8x}

Vamos a factorizar el polinomio x^5 - 4x^4 + 4x^3 + 8x^2 - 8x utilizando el método de Ruffini.

Paso 1: Ordenamos y completamos el polinomio. El polinomio dado es x^5 - 4x^4 + 4x^3 + 8x^2 - 8x, podemos extraer factor común «x» y obtenemos: x(x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 8x - 8) de donde podemos deducir que x=0 es una de las raíces del polinomio y nos queda: x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 8x - 8 que es un polinomio completo y ordenado.

Paso 2: Determinamos las posibles raíces. Las posibles raíces son los factores del término independiente, que es -8, divididos por los factores del coeficiente principal, que es 1. Entonces, las posibles raíces son \pm1, \pm2, \pm4, y \pm8.

Paso 6: Comenzamos con una posible raíz
Empecemos con x = 1. Realizamos la división por Ruffini:

    \[ \begin{array}{c|ccccc} 1 & 1 & -4 & 4 & 8 & -8 \\ \hline & 1 & -3 & 1 & 9 & 1 \\ \end{array} \]

El residuo no es 0, por lo que x = 1 no es una raíz del polinomio.

Paso 7: Probamos con otras raíces
Continuamos probando con las otras posibles raíces. Podemos omitir las raíces negativas debido a que el polinomio no tiene términos con coeficientes negativos.

Intentemos con x = 2:

    \[ \begin{array}{c|ccccc} 2 & 1 & -4 & 4 & 8 & -8 \\ \hline & 1 & -2 & 0 & 8 & 0 \\ \end{array} \]

El residuo no es 0, por lo que x = 2 tampoco es una raíz del polinomio.

Intentemos con x = 4:

    \[ \begin{array}{c|ccccc} 4 & 1 & -4 & 4 & 8 & -8 \\ \hline & 1 & 0 & 4 & 24 & 88 \\ \end{array} \]

El residuo no es 0, por lo que x = 4 tampoco es una raíz del polinomio.

Intentemos con x = 8:

    \[ \begin{array}{c|ccccc} 8 & 1 & -4 & 4 & 8 & -8 \\ \hline & 1 & 4 & 36 & 296 & 2304 \\ \end{array} \]

El residuo no es 0, por lo que x = 8 tampoco es una raíz del polinomio.

Paso 8: Conclusión
Hemos probado todas las posibles raíces sin éxito. Esto significa que el polinomio original no se factoriza de manera exacta utilizando el método de Ruffini. Podemos intentar otros métodos de factorización o expresar el polinomio como el producto de factores irreducibles.

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