Trinomio de la forma ax^2+bx+c (Factorización y ejercicios)

La factorización de trinomios de la forma $ax^2 + bx + c$ es una habilidad fundamental en el ámbito de las matemáticas, especialmente en el estudio del álgebra. Este proceso nos permite descomponer expresiones polinómicas en factores que son más simples y fáciles de trabajar. Al comprender cómo factorizar estos trinomios, los estudiantes pueden resolver una variedad de problemas matemáticos, desde la resolución de ecuaciones cuadráticas hasta la simplificación de expresiones algebraicas complejas.

Contenido

1 ¿Qué es un Trinomio de la Forma ax^2 + bx + c?
2 Cómo factorizar un trinomio de la forma ax^2+bx+c
3 Otros métodos de factorización de trinomios de la forma ax2+bx+c
4 Ejercicios de factorización de un trinomio de la forma ax^2+bx+c
- 4.1 Ejercicios con el primer método:
- 4.2 Ejercicios con el segundo método:

¿Qué es un Trinomio de la Forma ax^2 + bx + c?

Un trinomio de la forma $ax^2 + bx + c$ es una expresión algebraica que consta de tres términos, donde $a$ , $b$ y $c$ son coeficientes constantes y $x$ es una variable. Para este tipo de trinomio el coeficiente de la variable al cuadrado (a) presenta un valor diferente a 1 y la raíz cuadrada del primer termino y del tercero no son exactas.

El primer término, $ax^2$ , representa la parte cuadrática del trinomio, el segundo término, $bx$ , representa la parte lineal, y el tercer término, $c$ , es el término constante. Obviamente a, b y c representan los coeficientes de cada término, respectivamente.

Cómo factorizar un trinomio de la forma ax^2+bx+c

Existen varios métodos para factorizar este tipo de polinomios, veremos a continuación el paso a paso de dos de estos métodos comenzando por uno de los más comunes: la descomposición del trinomio y el factor común:

El primer paso para factorizar un trinomio es identificar dos números que sumados nos den el coeficiente lineal $b$ y multiplicados nos den el producto del coeficiente cuadrático $a$ por el término constante $c$ .
Se descompone el segundo termino en dos términos semejantes cuyos coeficientes son los números que encontramos en el paso 1.
La expresión algebraica permitirá aplicar otros casos que por lo general es factor común.

Ilustremos el procedimiento con un ejemplo:

Vamos a factorizar el polinomio $2x^2 + 7x + 3$

Solución

Paso 1: En este caso los coeficientes del polinomio son a=2, b=7 y c=3, entonces:

b=7 y a.c=2.3=6

Buscamos 2 números que sumados nos den 7 y multiplicados nos den 6, en este caso son 6 y 1.

Paso 2: Descomponemos el término lineal en 2 términos semejantes cuyos coeficientes son estos números que acabamos de conseguir:

$2x^{2}+5x-3=2x^{2}+6x+x+3$

Paso3: Nota que en los primeros dos términos podemos extraer factor común «2x», lo realizamos:

$2x^{2}+5x-3=2x(x+3)+x+3$

Ahora, escribiré el polinomio para que quede reflejado de manera más clara para el siguiente paso:

$2x^{2}+5x-3=2x(x+3)+(x+3)$

Nota que podemos extraer otro factor común que en este caso es «x+3», nos queda:

$2x^{2}+5x-3=(x+3)(2x+1)$

Que es finalmente el polinomio factorizado.

Otros métodos de factorización de trinomios de la forma ax2+bx+c

Ahora te explicaré un segundo método que es particularmente útil si ya comprendiste bien la factorización de trinomios de la forma $x^2 + bx + c$ , es decir, trinomios donde el coeficiente a=1 (el coeficiente de la variable al cuadrado). Pues bien, este método es un poco difícil de comprender pero una vez lo comprendes es más sencillo de aplicar, veamos el procedimiento:

Multiplicamos y dividimos el polinomio por «a».
Nos aseguramos de escribir el polinomio de la siguiente forma: $(ax)^2 + b(ax) + ac$
Si te fijas en la forma anterior, notarás que el trinomio toma la forma $x^2 + bx + c$ solo que en ese caso la variable no es solamente «x» sino «ax», por lo que podemos factorizar el polinomio empleando el método descrito para trinomios de la forma $x^2 + bx + c$ y esto es precisamente lo que haremos en el paso 3.
Al realizar la factorización tendremos la multiplicación de 2 binomios donde cada uno contendrá el término «ax», en uno de ellos podrás extraer el factor común «a» que finalmente podrás eliminarlo con el coeficiente que agregamos dividiendo en el paso 1.

Ahora veamos este procedimiento con el mismo ejemplo anterior:

Vamos a factorizar el polinomio $2x^2 + 7x + 3$

Solución

Paso 1: En este caso los coeficientes del polinomio son a=2, b=7 y c=3, entonces, multiplicamos y dividimos el polinomio por «a» que en este caso es 2.

$2x^2 + 7x + 3=\frac{2.(2x^2 + 7x + 3)}{2}$

Paso 2: Aplicamos la propiedad distributiva en el numerador asegurándonos de obtener la forma: $x^2 + bx + c$

$2x^2 + 7x + 3=\frac{(2x)^2 + 7(2x) + 6)}{2}$

Paso3: Ahora aplicamos el método para trinomios de la forma $x^2 + bx + c$ . Buscamos 2 números que sumados nos den 7 y multiplicados nos den 6, en este caso son 6 y 1. Entonces escribimos el trinomio como el producto de dos binomios sumados con estos números pero recuerda que en este caso al variable tiene la forma «2x», nos queda:

$2x^2 + 7x + 3=\frac{(2x+6)(2x+1)}{2}$

Paso 4: Extraemos el factor común 2 del primer binomio y cancelamos con el denominador:

$2x^2 + 7x + 3=\frac{2(x+3)(2x+1)}{2}$

$2x^2 + 7x + 3=(x+3)(2x+1)}$

Que es finalmente el polinomio factorizado y cuyo resultado es el mismo que obtuvimos en el ejemplo anterior.

Cabe mencionar además, que éste tipo de trinomios también se pueden factorizar calculando las raíces del trinomio empleando la ecuación resolvente cuadrática en cuyo caso podremos obtener raíces fraccionarias de manera más sencilla que empleando éstos métodos.

Ejercicios de factorización de un trinomio de la forma ax^2+bx+c

Explicaré algunos ejercicios aplicando el primer método y otros aplicando el segundo método por si acaso tu profesor de mates es un poco estricto con los métodos que usa en clase, veamos los ejercicios.

Ejercicios con el primer método:

Ejercicio 1. $3x^2 - 5x - 2$

Solución

Paso 1: Identifiquemos los coeficientes: $a = 3$ , $b = -5$ , y $c = -2$ . Ahora, necesitamos encontrar dos números cuya suma sea -5 (coeficiente lineal) y cuyo producto sea -6 (producto del coeficiente cuadrático por el término constante). En este caso, esos números son -6 y 1.

Paso 2: Descomponemos el término lineal en dos términos que coincidan con los números obtenidos en el paso 1

$3x^2 - 6x + x - 2$

Paso 3: Agrupamos los términos y extraemos factores comunes:

$3x(x - 2) + 1(x - 2)$

$= (3x + 1)(x - 2)$

El trinomio $3x^2 - 5x - 2$ se factoriza como $(3x + 1)(x - 2)$ .

Ejercicio 2: $2x^2 - 5x - 3$

Solución

Paso 1: Los coeficientes son $a = 2$ , $b = -5$ , y $c = -3$ . Buscamos dos números cuya suma sea -5 y cuyo producto sea -6. Estos números son -6 y 1.

Paso 2: Descomponemos el término lineal:

$2x^2 - 6x + x - 3$

Paso 3: Agrupamos términos y extraemos factores comunes:

$2x(x - 3) + x - 3$

$2x(x - 3) + (x - 3)$

$= (x - 3)(2x + 1)$

El trinomio $2x^2 - 5x - 3$ se factoriza como $(2x + 1)(x - 3)$ .

Ejercicio 3: $-2x^2 - 11x + 6$

Solución

Paso 1: Los coeficientes son $a = -2$ , $b = -11$ , y $c = 6$ . Buscamos dos números cuya suma sea -11 y cuyo producto sea -12. Estos números son -12 y 1.

Paso 2: Descomponemos el término lineal:

$-2x^2 - 12x + x + 6$

Paso 3: Agrupamos términos y extraemos factores comunes:

$-2x(x + 6) + (x + 6)$

$= (x + 6)(-2x + 1)$

El trinomio $4x^2 - 12x + 9$ se factoriza como $(-2x + 1)(x + 6)$ .

Ejercicio 4: $2x^4 - 7x^2 + 3$

Solución

Este caso es un poco particular puesto que no se trata exactamente de un trinomio de la forma $ax^2 + bx + c$ puesto que la variable del primer término está elevada a la 4 mientras que la del segundo término está elevada al cuadrado, pero si hacemos una pequeña conversión, obtendremos un trinomio que perfectamente podremos factorizarlo empleando éste método.

Esta transformación es simple, sólo con hacer algo como: $t=x^2$ tendríamos:

$2x^4 - 7x^2 + 3 = 2(x^2)^2 - 7(x^2) + 3 = 2t^2 - 7t + 3$

Y éste si es un trinomio de la forma $ax^2 + bx + c$ que podemos factorizarlo empleando el método descrito en esta publicación, veamos el paso a paso.

Paso 1: Los coeficientes son $a = 2$ , $b = -7$ , y $c = 3$ . Buscamos dos números cuya suma sea -7 y cuyo producto sea 6. Estos números son -6 y -1.

Paso 2: Descomponemos el término lineal:

$2t^2 - 6t - t + 3$

Paso 3: Agrupamos términos y extraemos factores comunes:

$2t(t - 3) - t + 3$

$2t(t - 3) - (t - 3)$

$= (t - 3)(2t - 1)$

Ahora que tenemos el polinomio factorizado, podemos devolver el cambio que hicimos al principio $t=x^2$ y expresar el trinomio en términos de «x», nos queda:

$= (x^2 - 3)(2x^2 - 1)$

Entonces, el trinomio $2x^4 - 7x^2 + 3$ se factoriza como $(x^2 - 3)(2x^2 - 1)$ .

Ejercicios con el segundo método:

Ejercicio 5. $3x^2 - 5x - 2$

Solución

Paso 1: Identificamos los coeficientes del polinomio, en este caso $a=3$ , $b=-5$ y $c=-2$ .

Paso 2: Multiplicamos y dividimos el polinomio por $a$ , que en este caso es 3.

$3x^2 - 5x - 2 = \frac{3(3x^2 - 5x - 2)}{3}$

Paso 3: Aplicamos la propiedad distributiva para obtener la forma $x^2 + bx + c$ .

$3x^2 - 5x - 2 = \frac{(3x)^2 - 5(3x) - 6}{3}$

Paso 4: Buscamos dos números que sumados nos den -5 y multiplicados nos den -6. Estos números son -6 y 1. Entonces escribimos el trinomio como el producto de dos binomios sumados con estos números.

$3x^2 - 5x - 2 = \frac{(3x - 6)(3x + 1)}{3}$

Paso 5: Extraemos el factor común 3 del primer binomio y cancelamos con el denominador:

$3x^2 - 5x - 2 = \frac{3(x - 2)(3x + 1)}{3}$

$3x^2 - 5x - 2 = (x - 2)(3x + 1)$

Esta es la factorización del polinomio.

Ejercicio 6. $4x^2 + 9x + 5$

Solución

Paso 1: Identificamos los coeficientes del polinomio, en este caso $a=4$ , $b=9$ y $c=5$ .

Paso 2: Multiplicamos y dividimos el polinomio por $a$ , que en este caso es 4.

$4x^2 + 9x + 5 = \frac{4(4x^2 + 9x + 5)}{4}$

Paso 3: Aplicamos la propiedad distributiva para obtener la forma $x^2 + bx + c$ .

$4x^2 + 9x + 5 = \frac{(4x)^2 + 9(4x) + 20}{4}$

Paso 4: Buscamos dos números que sumados nos den 9 y multiplicados nos den 20. Estos números son 4 y 5. Entonces escribimos el trinomio como el producto de dos binomios sumados con estos números.

$4x^2 + 9x + 5 = \frac{(4x + 5)(4x + 4)}{4}$

Paso 5: Extraemos el factor común 4 del segundo binomio y cancelamos con el denominador:

$4x^2 + 9x + 5 = \frac{4(4x + 5)(x + 1)}{4}$

$4x^2 + 9x + 5 = (4x + 5)(x + 1)$

Esta es la factorización del polinomio.

Ejercicio 7. $6x^2 - 13x + 5$

Solución

Paso 1: Identificamos los coeficientes del polinomio, en este caso $a=6$ , $b=-13$ y $c=5$ .

Paso 2: Multiplicamos y dividimos el polinomio por $a$ , que en este caso es 6.

$6x^2 - 13x + 5 = \frac{6(6x^2 - 13x + 5)}{6}$

Paso 3: Aplicamos la propiedad distributiva para obtener la forma $x^2 + bx + c$ .

$6x^2 - 13x + 5 = \frac{(6x)^2 - 13(6x) + 30}{6}$

Paso 4: Buscamos dos números que sumados nos den -13 y multiplicados nos den 30. Estos números son -10 y -3. Entonces escribimos el trinomio como el producto de dos binomios sumados con estos números.

$6x^2 - 13x + 5 = \frac{(6x - 10)(6x - 3)}{6}$

Paso 5: Este caso es muy particular porque en ninguno de los binomios podemos extraer el factor común 6, pero si podemos extraer factor común 2 en el primer binomio y 3 en el segundo:

$6x^2 - 13x + 5 = \frac{2(3x - 5)3(2x - 1)}{6}$

Reordenamos y cancelamos con el denominador:

$6x^2 - 13x + 5 = \frac{6(3x - 5)(2x - 1)}{6}$

$6x^2 - 13x + 5 = (3x - 5)(2x - 1)$

Entonces, el trinomio $6x^2 - 13x + 5$ se factoriza como $(3x - 5)(2x - 1)$ .