Raíces de un polinomio

Contenido

1 Raíz de un polinomio
- 1.1 Ejemplo de raíz de un polinomio
- 1.2 Propiedades de la raíz de un polinomio
2 Cómo calcular las raíces de un polinomio

Las raíces de un polinomio son los valores de la variable que hacen que el polinomio sea igual a cero. En otras palabras, si sustituimos la variable por una de sus raíces en el polinomio, el resultado de la operación será cero. En términos más formales, si P(x) es un polinomio y r es una raíz, se cumple que P(r) = 0.

Encontrar las raíces de un polinomio es una tarea fundamental en muchas áreas de la matemática y la ingeniería. El proceso para hallar estas raíces puede variar dependiendo del grado del polinomio. Para los polinomios de primer grado (lineales) y de segundo grado (cuadráticos), existen fórmulas directas para encontrar las raíces, como la fórmula general cuadrática.

Para los polinomios de grado mayor a dos, no siempre es posible encontrar una fórmula cerrada que nos dé las raíces. Sin embargo, el teorema fundamental del álgebra nos asegura que un polinomio de grado $n$ siempre tiene exactamente $n$ raíces, que pueden ser reales o complejas.

Existen varios métodos para aproximar las raíces de un polinomio si no podemos encontrarlas exactamente. Algunos de estos métodos son el método de Newton, el método de la bisección y el método de las secantes. Estos métodos nos permiten encontrar soluciones aproximadas con cualquier nivel de precisión deseado.

En conclusión, las raíces de un polinomio son un concepto fundamental en matemáticas que tiene aplicaciones en una variedad de campos, desde la física hasta la economía. A pesar de la dificultad que puede presentar encontrar las raíces de polinomios de alto grado, existen múltiples métodos de aproximación que nos permiten abordar estos problemas con eficacia.

Recordemos que el valor numérico es el resultado de sustituir la variable por un numero (a), cuando analizamos el valor resultante de la operaciones correspondiente al caso, se nos presentan valores clasificados como raíz de un polinomio.

Raíz de un polinomio

La raíz de un polinomio también es llamada como cero de un polinomio y se define como:

Raíz o cero de un polinomio P(x) es el valor numérico que se le asigna a la variable, para el cual P(x)=0

Ejemplo de raíz de un polinomio

Verificar si 1 y 2 son raíces del polinomio

$P(x)=x^{2}-x}$

Para determinara cual de los valores es raíz del polinomio sustituimos cada valor en la variable, iniciamos con el 1;

$P(1)=(1)^{2}-(1)}$

$P(1)=(1-1)}$

$P(1)=0}$

$P(2)=(2)^{2}-(2)}$

$P(1)=(4-2)}$

$P(1)=2}$

como podemos visualizar el único valor que hace al polinomio cero es el (1), por tanto este valor es la raíz o cero del polinomio.

Propiedades de la raíz de un polinomio

1.-Los divisores del termino independiente son posibles raíces enteras de un polinomio. Ejemplo:

$P(x)=x^{2}+3x+2}$

los múltiplos del termino independiente son 1,2 tanto positivo como negativo, para el caso del polinomio las raíces debería ser con valor negativo, comprobemos;

$P(-1)=(-1)^{2}+3(-1)+2}$

$P(-1)=1-3+2}$

$P(-1)=0$

$P(-2)=((-2)^{2}+3(-2)+2}$

$P(-2)=4-6+2}$

$P(-2)=0$

2.- Para un binomio del tipo (x+a) le corresponde una raiz del tipo x=-a. Ejemplo; (x+2) su raíz es x=-2.

3.- El polinomio se puede expresar en productos, de esta forma determinar con mayor facilidad las raíces. Ejemplo:

$P(x)=x^{2}+5x+6}$

el producto de este polinomio es

$x^{2}+2x+4=(x+2)(x+3)}$

si aplicamos la propiedad anterior las raices del polinomio seria -2 y -3.

4.- Todo polinomio que no tenga término independiente admite como raíz el valor de cero. Ejemplo:

$P(x)=x^{2}+5x}$

cuando x=0 el polinomio vale cero.

5.- La raíz de un polinomio puede ser un numero complejo, por tanto su complejo conjugado también es raíz, motivo por el cual las raíces se representan por pares.

Cómo calcular las raíces de un polinomio

Existen diferentes métodos para calcular las raíces de un polinomio, siendo los más comunes el método de factorización, el uso de fórmulas específicas para polinomios de segundo grado (como la fórmula cuadrática), y métodos numéricos como el método de Newton-Raphson o el método de la bisección. A continuación, describiremos estos métodos:

Factorización:

Para polinomios con raíces racionales o fácilmente factorizables, podemos usar técnicas de factorización para encontrar las raíces. Por ejemplo, para un polinomio de segundo grado $ax^2 + bx + c$ , podemos usar la fórmula cuadrática para encontrar sus raíces.

Fórmula resolvente cuadrática:

Para un polinomio cuadrático de la forma $ax^2 + bx + c$ , las raíces se calculan mediante la fórmula cuadrática:

$x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}$

Si el discriminante $b^2 - 4ac$ es mayor que cero, entonces el polinomio tiene dos raíces reales distintas. Si el discriminante es igual a cero, el polinomio tiene una raíz real doble. Y si el discriminante es menor que cero, el polinomio tiene raíces complejas conjugadas.

Métodos numéricos:

Cuando no es posible factorizar el polinomio o aplicar la fórmula cuadrática, se recurre a métodos numéricos. Uno de los métodos más utilizados es el método de Newton-Raphson, que es una técnica iterativa para encontrar raíces aproximadas de una ecuación. Otro método común es el método de la bisección, que divide repetidamente un intervalo en dos partes y selecciona el subintervalo en el que se encuentra la raíz.