Binomio al cubo

El binomio al cubo, una expresión algebraica que surge de la multiplicación de un binomio consigo mismo tres veces. En esta publicación, exploraremos qué es un binomio al cubo, cómo aplicar la regla o producto notable del binomio al cubo y cuál es su fórmula general. Además, nos sumergiremos en una variedad de ejercicios para afianzar nuestro entendimiento y habilidades en este tema.

¿Qué es un binomio al cubo?

Comencemos por definir qué es un binomio al cubo.

Un binomio es una expresión algebraica compuesta por dos términos, siendo los términos monomios de grado uno. Cuando elevamos un binomio al cubo, estamos multiplicando dicho binomio por sí mismo tres veces.

Por ejemplo, si tenemos el binomio (a + b), al elevarlo al cubo obtenemos (a + b)^3, que es igual a (a + b)(a + b)(a + b). Esto resulta en una expresión polinómica que consta de varios términos. En este producto notable se presentan dos casos de los que hablaremos en detalle más adelante:

  1. La suma al cubo
  2. Cubo de una diferencia

Regla del binomio al cubo:

La regla del binomio al cubo establece el patrón que se debe seguir para expandir dicho producto notable, lo explicaré con el cuadrado de la suma y más adelante haré la aclaratoria del caso del cubo de una diferencia o resta. En el caso de la suma reza lo siguiente:

El cubo de una suma es igual al primer término elevado al cubo más el triple del cuadrado del primer término por el segundo más el triple del primer término por el segundo al cuadrado más el segundo término elevado al cubo.

Esta regla nos permite establecer las fórmulas para cada caso.

Fórmula del cubo de un binomio:

Primero te explicaré por separado los dos casos y luego a partir de allí estableceremos la fórmula general que funciona para ambos casos:

Binomio de la suma al cubo

El binomio de la suma al cubo  es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

    \[(x+a)^{3}=x^{3}+3x^{2}.b+3xb^{2}+b^{3} \]

Binomio de una diferencia al cubo

El binomio de una diferencia al cubo es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.

    \[(x-a)^{3}=x^{3}-3x^{2}.b+3xb^{2}-b^{3} \]

Fórmula general para el cubo de un binomio:

A partir de las fórmulas anteriores podemos resumir lo siguiente:

    \[(x \pm a)^{3}=x^{3}\pm3x^{2}.b+3xb^{2} \pm b^{3} \]

Nota que la única diferencia en ambos casos son los signos del segundo y el cuarto término del polinomio resultante, donde la denotación \pm indica que el signo del segundo y cuarto término, dependerá del signo del binomio, si es una suma será positivo y si es una resta será negativo.

Ejercicios resueltos de binomio al cubo

Resolver los siguientes productos de binomio al cubo:

Ejercicio 1. (x+2)^{3}

Solución


Tenemos el caso de la suma donde el primer término es «x» y el segundo término es «2», aplicamos la fórmula para expandir el binomio:

    \[=x^{3}+3x^{2}.(2)+3x(2)^{2}+(2)^{3}\]

Realizamos los cálculos correspondientes y nos queda:

    \[=x^{3}+6x^{2}+12x+8\]

Ejercicio 2. (5x^{3}+x)^{3}

Solución

    \[=(5x^{3})^{3}+3(5x^{3})^{2}.x+3.5x^{3}x^{2}+x^{3}\]

    \[=5x^{9}+15x^{7}+15x^{5}+x^{3}\]

Ejercicio 3. (x^{2}+1)^{3}

Solución

    \[=(x^{2})^{3}-3(x^{2})^{2}.1+3x^{2}(1)^{2}-(1)^{3} \]

    \[=x^{5}-3x^{4}+3x^{2}-1\]

Ejercicio 4. (3x - 1)^3

Solución


Aquí tenemos un binomio compuesto por «3x» y «-1». Siguiendo la fórmula para el cubo de un binomio, expandimos:

    \[= (3x)^3 - 3(3x)^2(1) + 3(3x)(1)^2 - (1)^3\]

    \[= 27x^3 - 27x^2 + 9x - 1\]

Ejercicio 5. (2y + 5)^3

Solución


En este caso, el binomio está formado por «2y» y «5». Aplicamos la fórmula del binomio al cubo:

    \[= (2y)^3 + 3(2y)^2(5) + 3(2y)(5)^2 + (5)^3\]

    \[= 8y^3 + 60y^2 + 150y + 125\]

Ejercicio 6. (4a - 3b)^3

Solución


Tenemos un binomio con dos términos, «4a» y «-3b». Utilizamos la fórmula del cubo de un binomio:

    \[= (4a)^3 - 3(4a)^2(3b) + 3(4a)(3b)^2 - (3b)^3\]

    \[= 64a^3 - 144a^2b + 108ab^2 - 27b^3\]

Ejercicio 7. (-2x - 3y)^3

Solución


Aquí, el binomio es «-2x» y «-3y». Aplicamos la fórmula del cubo de un binomio:

    \[= (-2x)^3 - 3(-2x)^2(3y) + 3(-2x)(3y)^2 - (3y)^3\]

    \[= -8x^3 + 36x^2y - 54xy^2 + 27y^3\]

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