División de polinomios

La división o cociente de un polinomio es una de la operaciones mas comunes con estas expresiones algebraicas; vamos a ver como se resuelven.

División de polinomios

Al igual que la multiplicación de polinomios, vamos a iniciar el aprendizaje de lo mas simple a lo mas complejo, es decir, conociendo el procedimiento de división entre monomios para finalmente comprender la división de polinomios.

División de monomios

Los pasos a seguir en la división de monomios son:

  1. Se verifican si los monomios son de igual variable independientemente de su exponente.
  2. Si son iguales las variables aplicamos la propiedad de cociente de potencia de igual bases, es decir, se coloca la misma base y se restan los exponentes.
  3. Los coeficientes se dividen de la forma tradicional.

Consideración: Para que el cociente entre dos monomios sea otro monomio, el exponente de la variable del dividendo debe ser mayor o igual que el exponente de la variable del divisor.

Ejemplo de división de monomios.

Dividir los siguientes monomios:

    \[P(x)=6x^{8}\]

    \[Q(x)=3x^{4}\]

    \[\frac{P(x)}{Q(x)}\]

Se dividen los coeficientes y los exponentes se restan;

 

División de un polinomio por un monomio

Para realizar la división de un monomio por un polinomio aplicamos la propiedad distributiva de la suma con respecto a la división, es decir, el monomio o divisor, va dividir a cada termino del polinomio, recordando que los exponente de este deben ser mayores o iguales al del monomio.

Ejemplo de división de un polinomio por un monomio

Efectuar la siguiente división donde;

    \[P(x)=6x^{8}+9x^{7}-3x^{5}\]

    \[Q(x)=3x^{4}\]

    \[\frac{P(x)}{Q(x)}\]

En primer lugar separamos los términos;

    \[\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{6x^{8}+9x^{7}-3x^{5}}{3x^{4}}\]

    \[\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{6x^{8}}{3x^{4}}+\frac{9x^{7}}{3x^{4}}-\frac{3x^{5}}{3x^{4}}\]

se procede a dividir como el caso de división de monomio;

    \[\frac{P(x)}{Q(x)}=2x^{4}+3x^{3}-x\]

División de polinomios

Para poder realizar la división de polinomios es necesario que se cumpla que el grado del polinomio del dividendo sea mayor que el grado del polinomio del divisor.

El método para desarrollar esta división es el denominado método de galera, que consiste en:

  1. Se ordena los polinomios de forma decrecientes y se completan si es necesario.
  2. Se ubican los polinomios de la forma tradicional a una división numérica.
  3. Se divide el primer termino del dividendo entre el primer termino del divisor, siendo este resultado el primer termino del cociente.
  4. El primer termino encontrado va a multiplicar al divisor, cuyo resultado se le invierte el signos a todos sus términos, escribiéndolo finalmente debajo del dividendo, para efectuar una suma algebraica. El objetivo de este procedimiento es conseguir el primer resto parcial.
  5. Al tener el resto parcial se repite el paso uno y dos, es decir, dividimos el primer termino por el primer termino del divisor, multiplicamos hasta lograr que el resto de cero.

Ejemplo de división de polinomios

Efectuar la división de polinomio con;

    \[P(x)=6x^{8}+9x^{7}-3x^{6}\]

    \[Q(x)=x^{4}+2x^{2}\]

    \[\frac{P(x)}{Q(x)}\]

Solución

Como primer paso se ordenan y se completa los polinomios si es necesario, en este caso en particular, ya se encuentran ordenados y completo, procedemos a escribirlo de la forma tradicional a una división;

 

Seguidamente dividimos el primer termino del divisor por el primer termino del dividendo;

Con el primer termino multiplicamos al divisor,  invirtiendo el signos  para efectuar una suma algebraica;

a continuación se divide el primer termino del resto por el primero del divisor. El cociente lo multiplicamos por el dividendo, de esta forma repetimos los pasos anteriores;

Como el resto no da cero, se dice que la división no es exacta.

Método de división sintética o regla de Ruffini.

El método de división sintética o regla de Ruffini, permite dividir un polinomio entre un binomio de la forma (x – a), además permite encontrar las raíces de un polinomio para factorizarlo.

Para aplicar este método se debe completar el polinomio, se coloca los coeficientes del dividendo en una línea; abajo y a la izquierda colocamos el opuesto del término independiente del divisor para seguidamente bajar el primer coeficiente, multiplicamos ese coeficiente que se bajo por el divisor de la izquierda  y lo colocamos debajo del siguiente coeficiente correspondiente al segundo termino.

De esta forma realizamos una suma repitiendo el procedimiento hasta lograr que el ultimo termino, de esta forma culminado la división.

Mas adelante dedicaremos una publicación a realizar ejercicios del método de Ruffini.

 

 

 

 

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