División de polinomios

La división o cociente de un polinomio es una de la operaciones mas comunes con estas expresiones algebraicas; vamos a ver como se resuelven.

División de polinomios

La división de polinomios es una operación que implica dividir un polinomio (denominado dividendo) por otro polinomio (denominado divisor). El resultado de esta operación es otro polinomio llamado cociente, y en algunos casos, puede haber también un residuo. Es similar a la división de números, pero con polinomios en lugar de números.

Para dividir dos polinomios, seguimos un proceso que implica la distribución del término principal del dividendo por cada término del divisor, y luego realizamos las operaciones adecuadas para obtener el cociente y, si es necesario, el residuo.

Este proceso puede ser más complicado que la división numérica debido a la variedad de términos y grados presentes en los polinomios. Sin embargo, con práctica y comprensión de los conceptos básicos, la división de polinomios se vuelve más manejable.

Al igual que la multiplicación de polinomios, vamos a iniciar el aprendizaje de lo mas simple a lo mas complejo, es decir, conociendo el procedimiento de división entre monomios para finalmente comprender la división de polinomios.

División de monomios

Los pasos a seguir en la división de monomios son:

  1. Se verifican si los monomios son de igual variable independientemente de su exponente.
  2. Si son iguales las variables aplicamos la propiedad de cociente de potencia de igual bases, es decir, se coloca la misma base y se restan los exponentes.
  3. Los coeficientes se dividen de la forma tradicional.

Consideración: Para que el cociente entre dos monomios sea otro monomio, el exponente de la variable del dividendo debe ser mayor o igual que el exponente de la variable del divisor.

Ejemplo de división de monomios.

Dividir los siguientes monomios:

    \[P(x)=6x^{8}\]

    \[Q(x)=3x^{4}\]

    \[\frac{P(x)}{Q(x)}\]

Se dividen los coeficientes y los exponentes se restan;

División de un polinomio por un monomio

Para realizar la división de un monomio por un polinomio aplicamos la propiedad distributiva de la suma con respecto a la división, es decir, el monomio o divisor, dividirá cada término del polinomio, recordando que los exponentes de este deben ser mayores o iguales al del monomio.

Ejemplo de división de un polinomio por un monomio

Efectuar la siguiente división donde;

    \[P(x)=6x^{8}+9x^{7}-3x^{5}\]

    \[Q(x)=3x^{4}\]

    \[\frac{P(x)}{Q(x)}\]

En primer lugar separamos los términos;

    \[\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{6x^{8}+9x^{7}-3x^{5}}{3x^{4}}\]

    \[\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{6x^{8}}{3x^{4}}+\frac{9x^{7}}{3x^{4}}-\frac{3x^{5}}{3x^{4}}\]

Se procede a dividir como en el caso de la división de monomios;

    \[\frac{P(x)}{Q(x)}=2x^{4}+3x^{3}-x\]

División de polinomios entre binomios

La división de polinomios entre binomios es un caso más complejo, pero sigue un proceso similar al de la división entre monomios. En este caso, distribuimos el primer término del dividendo por cada término del divisor, luego restamos el producto resultante del dividendo y repetimos el proceso hasta que no sea posible continuar.

El procedimiento que se sigue es exactamente el mismo que al dividir un polinomio entre cualquier tipo de polinomio y un poco más abajo puedes encontrar una explicación más detallada con ejemplos y ejercicios resueltos paso a paso.

Adicionalmente, un polinomio puede dividirse entre un binomio usando la regla de Ruffini de la que te explico a continuación.

Método de división sintética o regla de Ruffini.

El método de división sintética o regla de Ruffini, permite dividir un polinomio entre un binomio de la forma (x – a), además permite encontrar las raíces de un polinomio para factorizarlo.

Para aplicar este método se debe completar el polinomio, se coloca los coeficientes del dividendo en una línea; abajo y a la izquierda colocamos el opuesto del término independiente del divisor para seguidamente bajar el primer coeficiente, multiplicamos ese coeficiente que se bajo por el divisor de la izquierda  y lo colocamos debajo del siguiente coeficiente correspondiente al segundo termino.

De esta forma realizamos una suma repitiendo el procedimiento hasta lograr que el ultimo termino, de esta forma culminado la división.

El procedimiento detallado lo puedes encontrar en el enlace que te deje un poco más arriba, junto a un buen número de ejercicios resueltos.

División de polinomios

Para poder realizar la división de polinomios es necesario que se cumpla que el grado del polinomio del dividendo sea mayor que el grado del polinomio del divisor.

El método para desarrollar esta división es el denominado método de galera, que consiste en los siguientes pasos:

  1. Se ordena los polinomios de forma decrecientes y se completan si es necesario.
  2. Se ubican los polinomios de la forma tradicional a una división numérica.
  3. Se divide el primer termino del dividendo entre el primer termino del divisor, siendo este resultado el primer termino del cociente.
  4. El primer término encontrado va a multiplicar al divisor, cuyo resultado se le invierte el signos a todos sus términos, escribiéndolo finalmente debajo del dividendo, para efectuar una suma algebraica, aunque igualmente puedes mantener el signo y luego realizar una resta. El objetivo de este procedimiento es conseguir el primer resto parcial.
  5. Al tener el resto parcial se repite el paso uno y dos, es decir, dividimos el primer término por el primer término del divisor, multiplicamos hasta lograr que el resto de cero o encontremos un polinomio cuyo grado sea menor que el del divisor.

Ejemplo de división de polinomios

Efectuar la división de polinomio con;

    \[P(x)=6x^{8}+9x^{7}-3x^{6}\]

    \[Q(x)=x^{4}+2x^{2}\]

    \[\frac{P(x)}{Q(x)}\]

Solución

Como primer paso se ordenan y se completa los polinomios si es necesario, en este caso en particular, ya se encuentran ordenados y completo, procedemos a escribirlo de la forma tradicional a una división;

Seguidamente dividimos el primer termino del divisor por el primer termino del dividendo;

Con el primer termino multiplicamos al divisor,  invirtiendo el signos  para efectuar una suma algebraica;

a continuación se divide el primer termino del resto por el primero del divisor. El cociente lo multiplicamos por el dividendo, de esta forma repetimos los pasos anteriores;

Como el resto no da cero, se dice que la división no es exacta.

Ejercicios de división de polinomios:

Ejercicio 1: Divide el polinomio x^3 + 2x^2 - 5x - 6 entre el binomio x - 1.

Solución


1. Comenzamos escribiendo el polinomio dividendo y el binomio divisor:

    \[ \begin{array}{cccc|c} x^3 & +2x^2 & -5x & -6 \hspace{1cm}& x - 1 \\ \end{array} \]

2. Dividimos el primer término del dividendo x^3 por el primer término del divisor x, lo que nos da x^2. Escribimos este término arriba:

    \[ \begin{array}{cccc|c} x^3 & +2x^2 & -5x & -6 \hspace{1cm}& x - 1 \\ \hline & & && x^2\\ \end{array} \]

3. Multiplicamos x - 1 por x^2, lo que nos da x^3 - x^2. Restamos esto del dividendo y nota la diferencia del ejemplo mostrado antes (estamos restando en lugar de cambiar el signo a la multiplicación y sumar):

    \[ \begin{array}{cccc|c} x^3 & +2x^2 & -5x & -6 \hspace{1cm}& x - 1 \\ x^3 &-x^2 & & & x^2\\ \hline 0 & +3x^2 & & & \\ \end{array} \]

4. Bajamos el siguiente término y continuamos repitiendo los pasos anteriores hasta que no haya más términos para bajar. En este caso, después de dividir 3x^2 entre x, obtenemos 3x que lo multiplicamos nuevamente por el divisor y lo restamos del lado izquierdo:

    \[ \begin{array}{cccc|c} x^3 & +2x^2 & -5x & -6 \hspace{1cm}& x - 1 \\ x^3 &-x^2 & & & x^2+3x\\ \hline 0 & +3x^2 &-5x & & \\ 0 & +3x^2 &-3x & & \\ \hline 0 & +0 &-2x & & \\ \end{array} \]

Bajamos el siguiente término y aplicamos el mismo procedimiento:

    \[ \begin{array}{cccc|c} x^3 & +2x^2 & -5x & -6 \hspace{1cm}& x - 1 \\ x^3 &-x^2 & & & x^2+3x-2\\ \hline 0 & +3x^2 &-5x & & \\ 0 & +3x^2 &-3x & & \\ \hline 0 & +0 &-2x &-6 & \\ 0 & +0 &-2x &+2 & \\ \hline 0 & +0 &0x &-8 & \\ \end{array} \]

5. Como no hay más términos para bajar, el residuo es -8, y el cociente es x^2+3x-2.

Ejercicio 2: Divide el polinomio 2x^4 - 5x^3 + 3x^2 - 4x + 7 entre el binomio x - 2.

Solución

1. Comenzamos escribiendo el polinomio dividendo y el binomio divisor:

    \[ \begin{array}{ccccc|c} 2x^4 & -5x^3 & +3x^2 & -4x & +7 \hspace{1cm}& x - 2 \\ \end{array} \]

2. Dividimos el primer término del dividendo 2x^4 por el primer término del divisor x, lo que nos da 2x^3. Escribimos este término arriba:

    \[ \begin{array}{ccccc|c} 2x^4 & -5x^3 & +3x^2 & -4x & +7 \hspace{1cm}& x - 2 \\ \hline & & &&& 2x^3\\ \end{array} \]

3. Multiplicamos x - 2 por 2x^3, lo que nos da 2x^4 - 4x^3. Restamos esto del dividendo:

    \[ \begin{array}{ccccc|c} 2x^4 & -5x^3 & +3x^2 & -4x & +7 \hspace{1cm}& x - 2 \\ 2x^4 &-4x^3 & & & & 2x^3\\ \hline 0 & -x^3 & & & & \\ \end{array} \]

4. Bajamos el siguiente término y continuamos repitiendo los pasos anteriores hasta que no haya más términos para bajar. En este caso, después de dividir -x^3 entre x, obtenemos -x^2 que lo multiplicamos nuevamente por el divisor y lo restamos del lado izquierdo:

    \[ \begin{array}{ccccc|c} 2x^4 & -5x^3 & +3x^2 & -4x & +7 \hspace{1cm}& x - 2 \\ 2x^4 &-4x^3 & & & & 2x^3-x^2\\ \hline 0 & -x^3 &+3x^2 & & & \\ 0 & -x^3 &+2x^2 & & & \\ \hline 0 & 0 &+x^2 & & & \\ \end{array} \]

Bajamos el siguiente término y aplicamos el mismo procedimiento:

    \[ \begin{array}{ccccc|c} 2x^4 & -5x^3 & +3x^2 & -4x & +7 \hspace{1cm}& x - 2 \\ 2x^4 &-4x^3 & & & & 2x^3-x^2+x\\ \hline 0 & -x^3 &+3x^2 & & & \\ 0 & -x^3 &+2x^2 & & & \\ \hline 0 & 0 &+x^2 & -4x& & \\ 0 & 0 &+x^2 &-2x & & \\ \hline 0 & 0 & 0 &-2x & & \\ \end{array} \]

Seguimos con el siguiente término:

    \[ \begin{array}{ccccc|c} 2x^4 & -5x^3 & +3x^2 & -4x & +7 \hspace{1cm}& x - 2 \\ 2x^4 &-4x^3 & & & & 2x^3-x^2+x-2\\ \hline 0 & -x^3 &+3x^2 & & & \\ 0 & -x^3 &+2x^2 & & & \\ \hline 0 & 0 &+x^2 & -4x& & \\ 0 & 0 &+x^2 &-2x & & \\ \hline 0 & 0 & 0 &-2x & +7& \\ 0 & 0 & 0 &-2x &+4 & \\ \hline 0 & 0 & 0 &0 &+3 & \end{array} \]

5. Como no hay más términos para bajar, el residuo es 3, y el cociente es 2x^3-x^2+x-2.

Ejercicio 3: Divide el polinomio 2x^3 - 5x^2 + 3x + 7 entre el trinomio x^2 - 2x + 1.

Solución


1. Comenzamos escribiendo el polinomio dividendo y el trinomio divisor:

    \[ \begin{array}{cccc|c} 2x^3 & -5x^2 & +3x & +7 \hspace{1cm}& x^2 - 2x + 1 \\ \end{array} \]

2. Dividimos el primer término del dividendo 2x^3 por el primer término del divisor x^2, lo que nos da 2x. Escribimos este término arriba:

    \[ \begin{array}{cccc|c} 2x^3 & -5x^2 & +3x & +7 \hspace{1cm}& x^2 - 2x + 1 \\ \hline & & & & 2x \\ \end{array} \]

3. Multiplicamos x^2 - 2x + 1 por 2x, lo que nos da 2x^3 - 4x^2 + 2x. Restamos esto del dividendo:

    \[ \begin{array}{cccc|c} 2x^3 & -5x^2 & +3x & +7 \hspace{1cm}& x^2 - 2x + 1 \\ 2x^3 &-4x^2 & +2x & & 2x \\ \hline 0 & -x^2 & +x &  &\\ \end{array} \]

4. Bajamos el siguiente término y continuamos repitiendo los pasos anteriores hasta que no haya más términos para bajar. En este caso, después de dividir -x^2 entre x^2, obtenemos -1 que lo multiplicamos nuevamente por el divisor y lo restamos del lado izquierdo:

    \[ \begin{array}{cccc|c} 2x^3 & -5x^2 & +3x & +7 \hspace{1cm}& x^2 - 2x + 1 \\ 2x^3 &-4x^2 & +2x & & 2x - 1 \\ \hline 0 & -x^2 & +x & +7 \\ 0 & -x^2 & +2x & -1 \\ \hline 0 & 0 & -x & +8 \\ \end{array} \]

5. Como no hay más términos para bajar, el residuo es -x+8, y el cociente es 2x - 1.

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