Diferencia de cuadrados perfectos

La factorización por diferencia de cuadrados es una técnica fundamental en álgebra que permite descomponer una expresión cuadrática en el producto de dos binomios conjugados. En esta publicación, exploraremos en detalle qué es la diferencia de cuadrados, cómo llevar a cabo su factorización, la fórmula asociada y proporcionaremos ejemplos ilustrativos que abarcan una variedad de situaciones.

¿Qué es una diferencia de cuadrados?

La diferencia de cuadrados o diferencia de cuadrados perfectos es una expresión algebraica que toma la forma a^2 - b^2, donde a y b son términos que pueden ser variables, constantes o combinaciones de ambos elevados al cuadrado.

La clave para identificar una diferencia de cuadrados radica en reconocer la estructura de resta de dos términos que están elevados al cuadrado. Este patrón se presta a la factorización de una manera específica, que veremos a continuación.

Factorización de una diferencia de cuadrados perfectos

Este caso de factorización consiste en un binomio cuyos términos tienen raíz cuadrada exacta, dando como resultado un producto notable denominado producto de una suma por su diferencia.

Para aplicar esta factorización el polinomio debe cumplir:

  • Debe ser un binomio.
  • Los términos deben tener raíz cuadrada exacta.
  • Deben presentar una diferencia como operación, es decir, los términos presentan signos contrarios.

En términos generales podemos decir que:

Una diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de las raíces del primer y segundo término del binomio

Fórmula para factorizar una diferencia de cuadrados:

La fórmula de diferencia de cuadrados es:

    \[ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \]

Esencialmente, estamos confirmando que la diferencia de cuadrados se puede expresar como el producto de dos binomios conjugados, donde uno tiene el signo más y el otro el signo menos. Este proceso nos permite simplificar la expresión original y descomponerla en sus factores fundamentales.

Al factorizar una diferencia de cuadrados, es crucial recordar que tanto a como b pueden ser cualquier expresión que esté elevada al cuadrado, y no necesariamente variables simples. La fórmula (a + b)(a - b) sigue siendo aplicable en tales casos, lo que hace que la técnica sea muy versátil y aplicable a una amplia gama de situaciones algebraicas.

Cómo factorizar una diferencia de cuadrados perfectos

Para factorizar cumplimos con:

  1. Calculamos la raíz cuadradas de ambos términos.
  2. Se escriben dos pares de paréntesis.
  3. En el primer par de paréntesis se escribe el resultado de la raíz cuadrada del primer termino seguido del signo mas.
  4. En el segundo par de paréntesis escribimos nuevamente el resultado de la raíz cuadrada del primer termino seguido del signo menos.
  5. Por ultimo, seguido de cada signo se escribe el resultado de la raíz cuadrada del segundo termino, para finalmente obtener un binomio conjugado.

10 Ejercicios de factorización por diferencia de cuadrados perfectos.

Ejercicio 1: Factorizar x^2 - 4

Solución

Calculamos la raíz cuadrada de cada término:

    \[ \sqrt{x^2} = x \quad \text{y} \quad \sqrt{4} = 2 \]

Aplicamos la fórmula de la diferencia de cuadrados:

    \[ x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2) \]

Ejercicio 2: Factorizar 4x^{2}-4

Solución

Calculamos la raíz cuadrada de cada termino

    \[\sqrt{4x^{2}}=2x\]

    \[\sqrt{4}=2\]

    \[4x^{2}-4=(2x+2)(2x-2)\]

Ejercicio 3: Factorizar 9y^2 - 16

Solución

Calculamos la raíz cuadrada de cada término:

    \[ \sqrt{9y^2} = 3y \quad \text{y} \quad \sqrt{16} = 4 \]

Aplicamos la fórmula de la diferencia de cuadrados:

    \[ 9y^2 - 16 = (3y + 4)(3y - 4) \]

Ejercicio 4: Factoriza 25x^2 - 36

Solución

Calculamos la raíz cuadrada de cada término:

    \[ \sqrt{25x^2} = 5x \quad \text{y} \quad \sqrt{36} = 6 \]

Aplicamos la fórmula de la diferencia de cuadrados:

    \[ 25x^2 - 36 = (5x + 6)(5x - 6) \]

Ejercicio 5: Factorizar a^4 - 16

Solución

Calculamos la raíz cuadrada de cada término:

    \[ \sqrt{a^4} = a^2 \quad \text{y} \quad \sqrt{16} = 4 \]

Aplicamos la fórmula de la diferencia de cuadrados:

    \[ a^4 - 16 = (a^2 + 4)(a^2 - 4) \]

Ejercicio 6: Factorizar: 4x^4 - 1

Solución

Calculamos la raíz cuadrada de cada término:

    \[ \sqrt{4x^4} = 2x^2 \quad \text{y} \quad \sqrt{1} = 1 \]

Aplicamos la fórmula de la diferencia de cuadrados:

    \[ 4x^4 - 1 = (2x^2 + 1)(2x^2 - 1) \]

Ejercicio 7: Factoriza la expresión:  9y^{4}x^{2}-x^{2}

Solución

Calculamos la raíz cuadrada de cada termino

    \[\sqrt{9y{4}x^{2}}=3y^{2}x\]

    \[\sqrt{x^{2}}=x\]

Al tratarse de cuadrados perfectos, aplicamos la fórmula de la factorización para este caso:

    \[9y{4}x^{2}-x^{2}=(3y^{2}x+x)(3y^{2}x-x)\]

Ejercicio 8: Factorizar: 16m^6 - 9n^4

Solución

Calculamos la raíz cuadrada de cada término:

    \[ \sqrt{16m^6} = 4m^3 \quad \text{y} \quad \sqrt{9n^4} = 3n^2 \]

Aplicamos la fórmula de la diferencia de cuadrados:

    \[ 16m^6 - 9n^4 = (4m^3 + 3n^2)(4m^3 - 3n^2) \]

Ejercicio 9: Factorizar: 64x^8 - 81y^6

Solución

Calculamos la raíz cuadrada de cada término:

    \[ \sqrt{64x^8} = 8x^4 \quad \text{y} \quad \sqrt{81y^6} = 9y^3 \]

Aplicamos la fórmula de la diferencia de cuadrados:

    \[ 64x^8 - 81y^6 = (8x^4 + 9y^3)(8x^4 - 9y^3) \]

Ejercicio 10: Factorizar: 49a^2 - 121b^2

Solución

Calculamos la raíz cuadrada de cada término:

    \[ \sqrt{49a^2} = 7a \quad \text{y} \quad \sqrt{121b^2} = 11b \]

Aplicamos la fórmula de la diferencia de cuadrados:

    \[ 49a^2 - 121b^2 = (7a + 11b)(7a - 11b) \]

Otros casos de factorización

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