Suma y diferencia de cubos

Los polinomios representan una parte fundamental del álgebra, y entre las técnicas de factorización más importantes se encuentra la suma o diferencia de cubos. En este artículo, exploraremos en detalle tanto la suma como la diferencia de cubos, desglosando su estructura, ofreciendo ejemplos ilustrativos y proporcionando una comprensión profunda de las fórmulas y procedimientos involucrados en su factorización.

Factorización de la suma y la diferencia de cubos

La suma y la diferencia de un cubo corresponde a uno de los casos de factorización de binomios. El procedimiento de estas dos operaciones son parecidas, difieren solo en signos de algunos de sus términos. Vamos a ver el procedimiento por separado con sus ejemplos y luego escribiremos una fórmula general en la que se engloben ambos casos:

Suma de dos cubos

Para resolver la suma de dos cubos, es necesario calcular primero la raíz cubica de ambos términos, donde sus resultados deben ser exactos para aplicar el siguiente procedimiento:

La suma de dos cubos es igual a la suma de sus raíces cúbicas por el producto del polinomio formado por el cuadrado de la primera raíz menos el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz

Fórmula para la factorización de la suma de cubos:

De lo anterior, podemos deducir que:

    \[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \]

donde (a) y (b) pueden representar cualquier término algebraico

Ejemplo de suma de dos cubos

Desarrolla la siguiente suma de dos cubo:

    \[ x^{3}+125\]

    \[ x^{3}+125=x^{3}+5^{3}\]

    \[ \sqrt[3]{x^{3}}=x\]

    \[ \sqrt[3]{125}=5\]

    \[ x^{3}+125=(x+5)(x^{2}-5x+25)\]

Diferencia de dos cubos

Al igual que en la suma de dos cubos, las raíces cubicas de los términos que conforma la diferencia deben ser exactas para aplicar el procedimiento:

La diferencia de dos cubos es igual a la diferencia de sus raíces cúbicas por el polinomio formado por el cuadrado de la primera raíz más el producto de ambas raíces mas el cuadrado de la segunda raíz.

Fórmula para la factorización de la diferencia de cubos:

De lo anterior, nos resulta:

    \[ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \]

donde (a) y (b) pueden representar cualquier término algebraico.

Ejemplo de diferencia de cubos

Desarrolla la siguiente diferencia de cubos:

    \[ 8x^{3}-27\]

    \[ 8x^{3}+27=(2x)^{3}+3^{3}\]

    \[ \sqrt[3]{8x^{3}}=2x\]

    \[ \sqrt[3]{27}=3\]

    \[ 8x^{3}-27=(2x-3)(4x^{2}+6x+9)\]

Fórmula general para la factorización de la suma o diferencia de cubos

Partiendo de las expresiones anteriores:

a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) y a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

Podemos escribir fácilmente una sola expresión con la que quedarían resumidas estas 2, nos queda así:

    \[ a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2) \]

Ejercicios resueltos de suma y diferencia de cubos:

Por supuesto, aquí te presento seis ejercicios de factorización de suma y diferencia de cubos, organizados de menor a mayor grado de dificultad:

1. Ejercicio: Factorización de suma de cubos

Factoriza 8x^3 + 27y^3.

Solución:

Usaremos la fórmula de suma de cubos que establece: a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2).

Aquí, a = 2x y b = 3y. Entonces,

    \[8x^3 + 27y^3 = (2x + 3y)(4x^2 - 6xy + 9y^2)\]

.

2. Ejercicio: Factorización de diferencia de cubos

Factoriza 64a^3 - 1.

Solución:

Utilizaremos la fórmula de diferencia de cubos: a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).

Aquí, a = 4a y b = 1. Entonces,

    \[64a^3 - 1 = (4a - 1)(16a^2 + 4a + 1)\]

.

3. Ejercicio: Factorización de suma de cubos

Factoriza 125x^3 + 8.

Solución:

Aplicamos la fórmula de suma de cubos: a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2).

Aquí, a = 5x y b = 2. Entonces,

    \[125x^3 + 8 = (5x + 2)(25x^2 - 10x + 4)\]

.

4. Ejercicio: Factorización de diferencia de cubos

Factoriza 27x^3 - 8.

Solución:

Usamos la fórmula de diferencia de cubos: a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).

Aquí, a = 3x y b = 2. Entonces,

    \[27x^3 - 8 = (3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)\]

.

5. Ejercicio: Factorización de suma de cubos

Factoriza 216a^3 + 1.

Solución:

Aplicamos la fórmula de suma de cubos: a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2).

Aquí, a = 6a y b = 1. Entonces,

    \[216a^3 + 1 = (6a + 1)(36a^2 - 6a + 1)\]

.

6. Ejercicio: Factorización de diferencia de cubos

Factoriza 64x^3 - 27y^3.

Solución:

Usamos la fórmula de diferencia de cubos: a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).

Aquí, a = 4x y b = 3y. Entonces,

    \[64x^3 - 27y^3 = (4x - 3y)(16x^2 + 12xy + 9y^2)\]

.

Otros casos de factorización

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