Productos notables

Cuando estudiamos la multiplicación o producto de polinomios vimos una serie de pasos para comprender la resolución de los mismos, pero hay algunos casos donde existen procedimientos mas abreviados y prácticos que acortan muchas operaciones, estos procedimientos reciben el nombre de productos notables.

¿Qué son los productos notables?

Se define producto notable al producto resultante de la multiplicación de dos expresiones algebraicas cuyas características se pueden generalizar a través de formulas especiales.

Fórmulas de los 4 casos de productos notables más comunes

Existen muchos casos de productos notables pero hay 4 casos bastante comunes, a continuación te hablaré de ellos y te dejaré enlazadas otras publicaciones donde encontrarás más ejercicios resueltos de cada uno de ellos:

Cuadrado de una suma

El cuadrado de la suma de un binomio es igual al cuadrado del primero, mas el doble producto del primero por el segundo, mas el cuadrado del segundo.

    \[(x+a)^{2}=x^{2}+2ax+a^{2}\]

El trinomio resultante es llamado trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplo cuadrado de una suma

Resolver el cuadrado de la suma de la expresión algebraica:

    \[(x+5)^{2}\]

    \[(x+5)^{2}=x^{2}+2.5x+(5)^{2}\]

    \[(x+5)^{2}=x^{2}+10x+25\]

Cuadrado de una diferencia

El cuadrado de la diferencia de un binomio es igual al cuadrado del primero, menos el doble producto del primero por el segundo, mas el cuadrado del segundo.

    \[(x-a)^{2}=x^{2}-2ax+a^{2}\]

El trinomio resultante al igual que el caso anterior es denominado trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplo de cuadrado de una diferencia

Resolver el cuadrado de una diferencia de la siguiente expresión algebraica:

    \[(x-5)^{2}\]

    \[(x-5)^{2}=x^{2}-2.5x+(5)^{2}\]

    \[(x-5)^{2}=x^{2}-10x+25\]

Producto de una suma por su diferencia

El producto de un binomio suma por un binomio deferencia, es igual al cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo.

    \[(x+a)(x-a)=x^{2}-a^{2}\]

Es de acotar que el producto de (x+a)(x-a) se le conoce como binomio conjugado, por tener dos binomios con términos iguales, diferenciándose solo en el signo de uno ellos.

Ejemplo de suma por su diferencia

Resolver el cuadrado de una diferencia de la siguiente expresión algebraica:

    \[(x+4)(x-4)\]

    \[(x+4)(x-4)=x^{2}-(4)^{2}\]

    \[(x+a)(x-a)=x^{2}-16\]

 Producto de binomios con términos común

Cuadrado del termino común, mas la suma algebraica de términos no comunes por el termino común, mas el producto de términos no comunes.

    \[(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab\]

Ejemplo del binomio con términos común

Resolver el cuadrado de una diferencia de la siguiente expresión algebraica:

    \[(x+4)(x+5)\]

    \[(x+4)(x+5)=x^{2}+(4+5)x+4.5\]

    \[(x+4)(x+5)=x^{2}+9x+20\]

Otros productos notables menos frecuentes:

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