Suma de polinomios

Dentro de las operaciones con polinomio se encuentra la suma o adición, la cual da como resultado otro polinomio. Para ello se debe realizar un procedimiento  asociado a la suma de los términos semejantes que estudiaremos a continuación.

 Suma o adición de polinomios

Para sumar polinomios es recomendable seguir los siguientes pasos:

  1. Se deben verificar el  orden de los polinomios a sumar, se recomienda que estén organizado de forma ascendente o descendente.
  2. Se debe verificar que el polinomio este completo, de lo contrario hay que completar el polinomio. Recordemos que se completa el termino colocando la variable con el exponente faltante, acompañado del coeficiente, que para el caso es cero.
  3. Para facilitar la operación se escribe un polinomio debajo del otro, ubicando los términos acorde a su semejante.
  4. Por ultimo se suman los coeficiente, se escribe la variable con su respectivo exponente.

Cuando sumamos polinomios se nos puede presentar que estén organizados de forma continua, agrupados por paréntesis, en este caso se elimina los paréntesis y se ordenan por términos semejantes, procediendo a sumar los coeficientes. Por ejemplo:

    \[P(x)= 3x^{2}+5\]

    \[Q(x)= 4x^{2}+3\]

    \[P(x)+Q(x)=(3x^{2}+5)+(4x^{2}+3) \]

    \[P(x)+Q(x)= (3x^{2}+ 4x^{2})+(5+3)\]

    \[P(x)+Q(x)= 6x^{2}+8\]

Es de acotar que como toda operación de suma debemos respetar la ley de los signos.

Propiedades de la suma de polinomios

En la suma o adición de polinomio se cumple con las siguientes propiedades:

1.- Propiedad conmutativa: P(x)+Q(x)=Q(x)+P(x)

2.- Propiedad asociativa: [P(x)+Q(x)]+R(x)=P(x)+[Q(x)+R(x)]

3.- Elemento neutro:

P(x)+Q(x)

donde Q(x)=0, por tanto;

P(x)+0(x)=P(x)

4.- Elemento opuesto o simétrico: Si se tiene P(x) su simétrico es -P(x), es decir, es el polinomio resultante de cambiar el signo de todos sus coeficientes.

Grado de la suma de polinomios

El grado del polinomio resultante de la suma, es igual o menor al grado del polinomio sumando de mayor grado.

Es decir, si sumamos dos polinomios de segundo grado, el resultado será un polinomio de segundo grado o menor, siempre y cuando no se anulen el termino de grado dos.

Ejercicios de suma de polinomios

Resolver las siguiente suma con polinomios:

1.- P(x)+Q(x)

2.- Q(x)+A(x)

donde

    \[P(x)= 4x^{2}+3x+4x^{4}+6\]

    \[Q(x)= 2x^{3}+x+4x^{2}+1\]

    \[A(x)= x^{3}+9x+2x^{2}\]

Ejercicio 1.-

P(x)+Q(x)

Solución

Primero se verifica si los polinomios están ordenado y si están completo. Para el caso los polinomios no están ordenados, se recomienda ordenar de forma descendente, pero estas en la libertar de hacerlo ascendente.  P(x) no esta completo falta el termino donde la variable este elevada a la 3 y en Q(x) falta el termino donde la variable este elevada a la 4. Procedemos a resolver;

ordenamos y completamos;

Escribimos los términos semejantes uno debajo del otro y procedemos a sumar los coeficientes;

Ejercicio 2.-

Q(x)+A(x)

Solución

Ordenados y completamos

finalmente realizamos la suma de los coeficientes de cada termino semejante;

 

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