Suma de polinomios

La suma de polinomios es una operación fundamental en álgebra, y su comprensión es esencial para el dominio de esta rama de las matemáticas. En este artículo, exploraremos cómo llevar a cabo la suma de polinomios, sus propiedades, el grado resultante y proporcionaremos ejercicios para fortalecer tu comprensión.

Suma o adición de polinomios:

La suma de polinomios implica combinar términos semejantes de diferentes polinomios para obtener un nuevo polinomio. Para sumar polinomios, simplemente sumamos los términos que tienen la misma variable y el mismo exponente.

Por ejemplo, al sumar 3x^2 + 2x + 5 y 2x^2 - 4x + 1, sumamos los términos semejantes: (3x^2 + 2x + 5) + (2x^2 - 4x + 1) = (3x^2 + 2x^2) + (2x - 4x) + (5 + 1).

Cómo se hace la suma de polinomios

En los párrafos anteriores ya explicamos cómo se calcula la suma de polinomio, sin embargo, el siguiente enfoque facilita la identificación de términos semejantes y simplifica el proceso de suma.:

  1. Se deben verificar el  orden de los polinomios a sumar, se recomienda que estén organizado de forma ascendente o descendente.
  2. Se debe verificar que el polinomio este completo, de lo contrario hay que completar el polinomio. Recordemos que se completa el termino colocando la variable con el exponente faltante, acompañado del coeficiente, que para el caso es cero.
  3. Para facilitar la operación se escribe un polinomio debajo del otro, ubicando los términos acorde a su semejante.
  4. Por ultimo se suman los coeficientes y se escribe la variable con su respectivo exponente.

Cuando sumamos polinomios se nos puede presentar que estén organizados de forma continua, agrupados por paréntesis, en este caso se elimina los paréntesis y se ordenan por términos semejantes, procediendo a sumar los coeficientes. Por ejemplo:

    \[P(x)= 3x^{2}+5\]

    \[Q(x)= 4x^{2}+3\]

    \[P(x)+Q(x)=(3x^{2}+5)+(4x^{2}+3) \]

    \[P(x)+Q(x)= (3x^{2}+ 4x^{2})+(5+3)\]

    \[P(x)+Q(x)= 6x^{2}+8\]

Es de acotar que como toda operación de suma debemos respetar la ley de los signos.

Propiedades de la suma de polinomios

En la suma o adición de polinomio se cumple con las siguientes propiedades:

Propiedad conmutativa

Esta propiedad establece que el orden en que se suman los polinomios no afecta el resultado final, es decir

P(x)+Q(x)=Q(x)+P(x)

Propiedad asociativa:

La propiedad asociativa afirma que la suma de tres o más polinomios es la misma sin importar cómo se agrupen los términos, es decir:

[P(x)+Q(x)]+R(x)=P(x)+[Q(x)+R(x)]

Elemento neutro:

Existe un polinomio que sumado a cualquier otro polinomio da como resultado ese mismo polinomio, en el caso de los polinomios el elemento neutro es el llamado polinomio nulo.

P(x)+Q(x)

donde Q(x)=0, por tanto;

P(x)+0(x)=P(x)

Elemento opuesto o simétrico

Para cada polinomio P(x) existe un segundo polinomio que sumado a él nos da el polinomio nulo, éste segundo polinomio es llamado simétrico y se identifica cómo: -P(x), que vale mencionar, es el polinomio resultante de cambiar el signo de todos los coeficientes del polinomio original.

Suma de polinomios con fracciones

La suma de polinomios con fracciones implica agregar polinomios que contienen términos fraccionarios. Al sumar polinomios con fracciones, es crucial encontrar un común denominador para las fracciones y luego realizar la suma como de costumbre.

Por ejemplo, al sumar \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{4}x + \frac{1}{8} y \frac{3}{4}x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}, primero encontraríamos un común denominador para las fracciones, luego sumaríamos los términos semejantes.

En los ejercicios 9 y 10 puedes encontrar dos casos de suma de polinomios con fracciones

Grado de la suma de polinomios

El grado del polinomio resultante de la suma, es igual o menor al grado del polinomio sumando de mayor grado.

Es decir, si sumamos dos polinomios de segundo grado, el resultado será un polinomio de segundo grado o menor, siempre y cuando no se anulen el termino de grado dos.

Ejercicios de suma de polinomios

En los ejercicios 1 y 2 calcule la suma de polinomios indicada sabiendo que:

    \[P(x)= 4x^{2}+3x+4x^{4}+6\]

    \[Q(x)= 2x^{3}+x+4x^{2}+1\]

    \[A(x)= x^{3}+9x+2x^{2}\]

Ejercicio 1. P(x)+Q(x)

Solución

Primero se verifica si los polinomios están ordenado y si están completo. Para el caso los polinomios no están ordenados, se recomienda ordenar de forma descendente, pero estas en la libertar de hacerlo ascendente.  P(x) no esta completo falta el termino donde la variable este elevada a la 3 y en Q(x) falta el termino donde la variable este elevada a la 4. Procedemos a resolver;

ordenamos y completamos;

Escribimos los términos semejantes uno debajo del otro y procedemos a sumar los coeficientes;

Ejercicio 2. Q(x)+A(x)

Solución

Ordenados y completamos

finalmente realizamos la suma de los coeficientes de cada termino semejante;

Ejercicio 3. Calcule P(x) + Q(x) sabiendo que:

    \[ P(x) = 2x^3 + 5x^2 - x + 3 \]

    \[ Q(x) = -3x^3 + 2x^2 + 4x - 5 \]

Solución


Para sumar P(x) y Q(x), primero los organizamos de forma descendente y nos aseguramos de que estén completos:

    \[ P(x) = 2x^3 + 5x^2 - x + 3 \]

    \[ Q(x) = -3x^3 + 2x^2 + 4x - 5 \]

Luego, escribimos los términos semejantes uno debajo del otro y sumamos los coeficientes correspondientes:

suma de polinomios ejercicios

Entonces, la suma de los polinomios P(x) y Q(x) es P(x) + Q(x) = -x^3 + 7x^2 + 3x - 2.

Ejercicio 4. Calcule R(x) + S(x) donde:

    \[ R(x) = 4x^4 - 2x^3 + 5x^2 + 3 \]

    \[ S(x) = -x^4 + 3x^3 - 2x^2 + x - 1 \]

Solución


Para sumar R(x) y S(x), primero los organizamos de forma descendente y nos aseguramos de que estén completos:

    \[ R(x) = 4x^4 - 2x^3 + 5x^2 + 3 \]

    \[ S(x) = -x^4 + 3x^3 - 2x^2 + x - 1 \]

Luego, escribimos los términos semejantes uno debajo del otro y sumamos los coeficientes correspondientes:como sumar polinomiosPor lo tanto, la suma de los polinomios R(x) y S(x) es R(x) + S(x) = 3x^4 + x^3 + 3x^2 + x + 2.

Ejercicio 5. Calcula T(x) + U(x) dadas las siguientes funciones:

    \[ T(x) = 2x^5 - 3x^3 + 4x^2 + 5 \]

    \[ U(x) = -x^5 + 2x^3 - x + 3 \]

Solución


Para sumar T(x) y U(x), primero los organizamos de forma descendente y nos aseguramos de que estén completos:

    \[ T(x) = 2x^5 - 3x^3 + 4x^2 + 5 \]

    \[ U(x) = -x^5 + 2x^3 - x + 3 \]

Luego, escribimos los términos semejantes uno debajo del otro y sumamos los coeficientes correspondientes:

adicion de polinomios

Por lo tanto, la suma de los polinomios T(x) y U(x) es T(x) + U(x) = x^5 - x^3 + 4x^2 - x + 8.

Ejercicio 6. Calcule A(x) + B(x) con:

    \[ A(x) = 3x^3 + 2x^2 - x + 7 \]

    \[ B(x) = -2x^3 + 5x^2 + 3x - 4 \]

Solución


Para sumar A(x) y B(x), primero los organizamos de forma descendente y nos aseguramos de que estén completos:

    \[ A(x) = 3x^3 + 2x^2 - x + 7 \]

    \[ B(x) = -2x^3 + 5x^2 + 3x - 4 \]

Luego, escribimos los términos semejantes uno debajo del otro y sumamos los coeficientes correspondientes:

propiedades de la adición de polinomios

Por lo tanto, la suma de los polinomios A(x) y B(x) es A(x) + B(x) = x^3 + 7x^2 + 2x + 3.

Ejercicio 7. Calcule C(x) + D(x) sabiendo que:

    \[ C(x) = 4x^4 - 3x^2 + 2 \]

    \[ D(x) = -x^4 + 2x^3 + 5x - 1 \]

Solución


Para sumar C(x) y D(x), primero los organizamos de forma descendente y nos aseguramos de que estén completos:

    \[ C(x) = 4x^4 - 3x^2 + 2 \]

    \[ D(x) = -x^4 + 2x^3 + 5x - 1 \]

Luego, escribimos los términos semejantes uno debajo del otro y sumamos los coeficientes correspondientes:

como hacer suma de polinomios

Por lo tanto, la suma de los polinomios C(x) y D(x) es C(x) + D(x) = 3x^4 + 2x^3 - 3x^2 + 5x + 1.

Ejercicio 8. Calcule E(x) + F(x) con:

    \[ E(x) = 2x^5 + 4x^3 + x^2 + 8 \]

    \[ F(x) = -3x^5 + 2x^4 - 2x^3 - 5x - 1 \]

Solución


Para sumar E(x) y F(x), primero los organizamos de forma descendente y nos aseguramos de que estén completos:

    \[ E(x) = 2x^5 + 4x^3 + x^2 + 8 \]

    \[ F(x) = -3x^5 + 2x^4 - 2x^3 - 5x - 1 \]

Luego, escribimos los términos semejantes uno debajo del otro y sumamos los coeficientes correspondientes:

Grado de la suma de polinomios

Por lo tanto, la suma de los polinomios E(x) y F(x) es E(x) + F(x) = -x^5 + 2x^4 + 2x^3 + x^2 - 5x + 7.

Ejercicio 9. Calcula G(x) + H(x) con:

    \[ G(x) = \frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{4}x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{5}{2} \]

    \[ H(x) = \frac{1}{4}x^3 + \frac{2}{3}x^2 - \frac{1}{6}x - \frac{7}{4} \]

Solución


Para sumar G(x) y H(x), primero los organizamos de forma descendente y nos aseguramos de que estén completos:

    \[ G(x) = \frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{4}x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{5}{2} \]

    \[ H(x) = \frac{1}{4}x^3 + \frac{2}{3}x^2 - \frac{1}{6}x - \frac{7}{4} \]

Luego, escribimos los términos semejantes uno debajo del otro y sumamos los coeficientes correspondientes:

suma de polinomios con fracciones

Por lo tanto, la suma de los polinomios G(x) y H(x) es G(x) + H(x) = \frac{3}{4}x^3 - \frac{1}{12}x^2 + \frac{1}{6}x + 1.

Ejercicio 10. Calcula I(x) + J(x) donde:

    \[ I(x) = \frac{2}{5}x^4 - \frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{4}x^2 - \frac{2}{5}x + \frac{7}{6} \]

    \[ J(x) = \frac{3}{10}x^4 + \frac{2}{3}x^3 - \frac{5}{4}x^2 + \frac{1}{5}x - \frac{2}{3} \]

Solución


Para sumar I(x) y J(x), primero los organizamos de forma descendente y nos aseguramos de que estén completos:

    \[ I(x) = \frac{2}{5}x^4 - \frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{4}x^2 - \frac{2}{5}x + \frac{7}{6} \]

    \[ J(x) = \frac{3}{10}x^4 + \frac{2}{3}x^3 - \frac{5}{4}x^2 + \frac{1}{5}x - \frac{2}{3} \]

Luego, escribimos los términos semejantes uno debajo del otro y sumamos los coeficientes correspondientes:

suma de polinomios con coeficientes fraccionarios

Por lo tanto, la suma de los polinomios I(x) y J(x) es I(x) + J(x) = \frac{1}{2}x^4 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^2 - \frac{3}{5}x + \frac{1}{6}.

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