Factor común y factor común por agrupación

Dentro de los casos de factorización los mas sencillo y prácticos son el  factor común y factor por agrupación.

¿Qué es el factor común?

El factor común es un término o elemento algebraico que es divisible por cada término de una expresión dada. En otras palabras, el factor común es un factor que aparece en cada término de la expresión y puede ser extraído para simplificarla. Por ejemplo, en la expresión 3x^2 + 6x, el factor común es 3x, ya que ambos términos son divisibles por 3x.

Cuando identificamos el factor común en una expresión, podemos dividir cada término por este factor y así «factorizar la expresión». Este proceso nos permite reescribir la expresión de una manera más compacta y comprensible.

Ejemplos de factor común

1. Expresión original: 4x + 8y
Factor común: 4
Expresión factorizada: 4(x + 2y)

2. Expresión original: 2a^2 - 6a^3
Factor común: 2a^2
Expresión factorizada: 2a^2(1 - 3a)

El proceso de factorización es igual a la operación inversa de la propiedad distributiva, es decir, se extrae el factor común que multiplica al resto de los términos.

Factorización por factor común y agrupación de términos

La factorización por factor común es un proceso relativamente sencillo pero poderoso que nos permite simplificar expresiones algebraicas identificando y extrayendo el factor común. A continuación, se presenta un paso a paso sobre cómo realizar la factorización por factor común y la agrupación de términos:

1. Identificación del factor común: Examine cada término de la expresión y encuentre el factor común más grande que aparezca en todos los términos.

2. Extracción del factor común: Divida cada término de la expresión por el factor común identificado y escriba el factor común fuera del paréntesis.

3. Expresión factorizada: Escriba los términos restantes dentro de un paréntesis. Esta es la expresión factorizada.

Ejercicios de factorización por factor común y factor común por agrupación de términos

Factorizar los siguientes polinomios;

Ejercicio 1:

Solución

    \[4x^{2}+4x+4\]

el factor común es 4, entonces;

    \[=4(x^{2}+x+1)\]

Ejercicio 2:

Solución

    \[x^{2}+2x^{4}+3x\]

el factor común es x

    \[=x(x+2x^{3}+3)\]

Ejercicio 3:

Solución

    \[9x^{2}+6x^{4}+3x^{5}\]

se presentan dos factores comunes, la variable X con su menor exponente  y también 3 por ser múltiplo de los otros coeficientes;

    \[3x^{2}(3+2x^{2}+x^{3})\]

Ejercicio 4:

Solución

    \[x^{3}-3x^{2}+2x-6\]

agrupamos terminos;

    \[=(x^{3}-3x^{2})+(2x-6)\]

aplicamos factor común;

    \[=x^{2}(x-3)+2(x-3)\]

nuevamente aplicamos factor común

    \[=(x-3)(x^{2}+2)\]

Ejercicio 5:

Solución

    \[2xy+2x-y-2xz+z-1\]

    \[=(2xy+2x)-(2xz+z)-(1+y)\]

    \[=2x(y+1)-z(2x+1)-(1+y)\]

    \[=2x(y+1)-(1+y)-z(2x+1)\]

    \[=(y+1)(2x-1)-z(2x+1)\]

    \[=(2x-1)(y+1-z)\]

Otros casos de factorización

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