Multiplicación de polinomios

Dentro de las operaciones con polinomios se encuentra la multiplicación o producto de polinomio, que a continuación explicaremos.

Multiplicación de polinomios.

Para comprender la multiplicación de polinomio partiremos de lo mas simple a lo mas complejo, es decir, de multiplicación de monomio hasta llegar a la multiplicación entre polinomios.

Es importante acotar, que debes considerar repasar las propiedades de la potencia, como son, producto de potencia de igual base y potencia de una potencia, esto te facilitara la resolución de las operaciones con polinomio.

Propiedades de la multiplicación de polinomios

Las propiedades que se cumple en la multiplicación de polinomio son:

1.- Propiedad conmutativa.

P(x).Q(x) = Q(x).P(x)

2.- Propiedad asociativa

[P(x).Q(x)].A(x) = Q(x).[P(x).A(x)]

3.- Elemento neutro

P(x).Q(x) = P(x)

donde

Q(x) =1

4.- Propiedad distributiva

P(x).[Q(x)+A(x)] = P(x).Q(x)+P(x).A(x)

Producto de monomios

Para multiplicar monomios, cumpliremos los siguientes pasos:

1.- Se multiplican los coeficientes y se multiplica el signo de cada coeficiente.

2.- Verificamos que las variables a multiplicar sean la misma, independientemente del valor  del exponente. Aplicamos el producto de potencia de igual base, es decir, se coloca la misma base y se suman los exponentes.

Vamos a ver uno ejemplo de multiplicación de monomio;

    \[P(x)=2x^{2}\]

    \[Q(x)=-5x^{4}\]

    \[P(x).Q(x)=(2x^{2}).(-5x^{4})\]

    \[P(x).Q(x)=2.(-5)x^{2+4}\]

    \[P(x).Q(x)=-10x^{6}\]

En el caso que los monomios tenga diferentes variable, solo se multiplican los coeficientes, y se escribe las dos variables, por ejemplo;

    \[P(x)=2x^{2}\]

    \[Q(x)=-5y^{4}\]

    \[P(x).Q(x)=(2x^{2}).(-5y^{4})\]

    \[P(x).Q(x)=2.(-5)x^{2}.y^{4}\]

    \[P(x).Q(x)=-10x^{2}.y^{4}\]

Producto de un monomio por un polinomio

Para realizar la multiplicación de un monomio por un polinomio, aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma, es decir, multiplicamos el monomio por cada termino del polinomio.

Otras de las consideraciones a tener en cuenta a la hora de multiplicar monomios por polinomio es la regla de los signos y producto de potencia de igual base, veamos un ejemplo:

    \[P(x)=2x^{2}\]

    \[Q(x)=-5y^{4}-3\]

como podemos visualizar el monomio debe multiplicar a cada termino;

multiplicamos los coeficiente con sus respectivos signos y sumamos los exponentes;

Multiplicación de dos polinomios

Al multiplicar dos polinomios se tiene como resultado otro polinomio. Si tienes claro como se multiplica un monomio por un polinomio, no tendrás problema con este caso en estudio, dado que al multiplicar dos polinomios debemos partir de identificar los términos de este, cada termino multiplicara al segundo polinomio como si fuera un monomio.

Los pasos a considerar para resolver la multiplicación son:

1.- Ordenar de forma decreciente o creciente a los polinomios.

2.- Si es necesario se debe completar los polinomios.

3.- Ubicar un polinomio al lado del otro separados con paréntesis. Otra forma es escribirlo uno debajo del otro en concordancia con los términos semejantes.

4.- Se multiplica cada termino, recordando multiplicar coeficiente, signo y aplicando la propiedad de potencia de igual base.

Vamos a resolver un ejercicios para entender mejor el procedimiento:

si tenemos los polinomios

al ordenar y completar quedaría;

Comenzamos a multiplicar, iniciando con el primer termino del segundo polinomio. Se multiplica los coeficiente y se suman los exponentes;

seguimos multiplicando por el segundo termino, teniendo en cuenta el orden de ubicación de los mismos, es decir, ubicar el resultado en su respectivo termino semejante;

seguimos aplicando el mismo procedimiento con el resto de los termino, quedaría;

Como podemos observar, los términos semejantes quedan ordenados en columna, de esta manera culminamos simplificando cada columna;

Otra forma de resolver la multiplicación es;

donde el primer termino multiplica a cada uno de los términos del segundo polinomio;

este procedimiento se repite con todos los términos de P(x), ubicando los resultados en fila, para finalmente simplificar los términos semejante.

10 ejemplos de multiplicación de polinomios resueltos paso a paso:

Aquí tienes 10 ejercicios de multiplicación de polinomios, organizados de menor a mayor grado de dificultad, junto con sus soluciones paso a paso:

1. Ejercicio: Multiplicación de monomios

Multiplica: 2x por 3y.

Solución:

    \[2x \times 3y = 6xy\]

.

2. Ejercicio: Multiplicación de binomios

Multiplica: (x + 2) por (3x - 1).

Solución:

Usamos la propiedad distributiva:

    \[ (x + 2)(3x - 1) & = x(3x - 1) + 2(3x - 1) \]

    \[= 3x^2 - x + 6x - 2 \]

    \[= 3x^2 + 5x - 2. \]

3. Ejercicio: Multiplicación de binomios

Multiplica: (2x + 1) por (3x - 2).

Solución:

Usamos la propiedad distributiva:

    \[ (2x + 1)(3x - 2) & = 2x(3x - 2) + 1(3x - 2) \]

    \[= 6x^2 - 4x + 3x - 2 \]

    \[= 6x^2 - x - 2. \]

4. Ejercicio: Multiplicación de binomios (Productos compuestos)

Multiplica: (2x - 3) por (x^2 + 2x - 1).

Solución:

Usamos la propiedad distributiva:

    \[ (2x - 3)(x^2 + 2x - 1) & = 2x(x^2 + 2x - 1) - 3(x^2 + 2x - 1) \]

    \[= 2x^3 + 4x^2 - 2x - 3x^2 - 6x + 3 \]

    \[= 2x^3 + x^2 - 8x + 3 \]

5. Ejercicio: Multiplicación de binomios (Productos con exponentes)

Multiplica: (x^2 - 2x + 1) por (x^3 + x^2 - 3).

Solución:

Usamos la propiedad distributiva:

    \[ (x^2 - 2x + 1)(x^3 + x^2 - 3) \]

    \[= x^2(x^3 + x^2 - 3) - 2x(x^3 + x^2 - 3) + (x^3 + x^2 - 3) \]

    \[= x^5 + x^4 - 3x^2 - 2x^4 - 2x^3 + 6x - 3 \]

    \[= x^5 - x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 6x - 3 \]

6. Ejercicio: Multiplicación de polinomios de tres términos

Multiplica: (x - 1)(x^2 + x + 1).

Solución:

Usamos la propiedad distributiva:

    \[(x - 1)(x^2 + x + 1) \]

    \[= x(x^2 + x + 1) - 1(x^2 + x + 1) \]

    \[= x^3 + x^2 + x - x^2 - x - 1\]

    \[= x^3 - 1. \]

7. Ejercicio: Multiplicación de polinomios de cuatro términos

Multiplica: (2x - 1)(x^3 - 3x^2 + 2x - 5).

Solución:

Usamos la propiedad distributiva:

    \[(2x - 1)(x^3 - 3x^2 + 2x - 5)\]

    \[= 2x(x^3 - 3x^2 + 2x - 5) - 1(x^3 - 3x^2 + 2x - 5) \]

    \[= 2x^4 - 6x^3 + 4x^2 - 10x - x^3 + 3x^2 - 2x + 5 \]

    \[= 2x^4 - 7x^3 + 7x^2 - 12x + 5. \]

8. Ejercicio: Multiplicación de polinomios de 5 términos

Multiplica: (x^2 - 2x + 1)(x^3 + x^2 - 3x + 2).

Solución:

Usamos la propiedad distributiva:

    \[ (x^2 - 2x + 1)(x^3 + x^2 - 3x + 2) \]

    \[= x^2(x^3 + x^2 - 3x + 2) - 2x(x^3 + x^2 - 3x + 2) + (x^3 + x^2 - 3x + 2) \]

    \[= x^5 + x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 2x^4 - 2x^3 + 6x^2 - 4x + x^3 + x^2 - 3x + 2 \]

    \[= x^5 - x^4 - x^3 + 9x^2 - 7x + 2. \]

9. Ejercicio: Multiplicación de polinomios con coeficientes negativos

Multiplica (-x^2 - 2x - 3) por (-2x^3 + 3x^2 - 4x + 5).

Solución:

Usamos la propiedad distributiva:

    \[( -x^2 - 2x - 3)( -2x^3 + 3x^2 - 4x + 5) = -x^2(-2x^3 + 3x^2 - 4x + 5) - 2x(-2x^3 + 3x^2 - 4x + 5)\]

    \[- 3(-2x^3 + 3x^2 - 4x + 5)\]

    \[= 2x^5 - 3x^4 + 4x^3 - 5x^2 + 4x^4 - 6x^3 + 8x^2 - 10x - 6x^3 + 9x^2 - 12x + 15\]

    \[= 2x^5 + x^4 - 2x^3 + 12x^2 - 22x + 15\]

10. Ejercicio: Multiplicación de polinomios con términos elevados

Multiplica (x^5 + 2x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 5x + 6) por (x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x + 1).

Solución:

Usamos la propiedad distributiva, multiplicando término por término y sumando los productos:

    \[ (x^5 + 2x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 5x + 6)(x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x + 1) \]

    \[= x^9 - 3x^8 + 2x^7 - x^6 + x^4 + 2x^8 - 6x^7 + 4x^6 - 2x^5 + 2x^3 + 3x^7 - 9x^6 + 6x^5 - 3x^4 + 3x^2 + 4x^6 - 12x^5 + 8x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 5x^5 - 15x^4 + 10x^3 - 5x^2 + 5x + 6x^4 - 18x^3 + 12x^2 - 6x + 6 \]

    \[= x^9 - x^8 + 3x^7 - 4x^6 - 3x^5 - 6x^4 + 2x^3 + 3x^2 - 11x + 6 \]

Este sitio web utiliza cookies para que usted tenga la mejor experiencia de usuario. Si continúa navegando está dando su consentimiento para la aceptación de las mencionadas cookies y la aceptación de nuestra política de cookies, pinche el enlace para mayor información.plugin cookies

ACEPTAR
Aviso de cookies