Factorización de polinomios

Dentro de las operaciones con polinomios nos encontramos con una muy importante como lo es la factorización.

¿Qué es la factorización de polinomios?

La factorización de polinomios es el proceso de expresar un polinomio como el producto de dos o más polinomios más simples. En otras palabras, se trata de encontrar los factores que multiplicados juntos producen el polinomio original. Esto es esencialmente deshacer la multiplicación distributiva..

Por ejemplo si tenemos el polinomio;

    \[(x^{2}+4x+4)\]

La factorización de este polinomio expresado en producto seria:

    \[(x+2).(x+2)=(x+2)^{2}\]

Conceptos que te pueden interesar

Tipos o casos de factorización

Antes de factorizar un polinomio, es crucial identificar qué tipo de polinomio tenemos ante nosotros. Un polinomio puede ser de diferentes grados y tener una variedad de términos. Es importante observar el número de términos, su grado, y cualquier patrón que pueda ser reconocible, como la presencia de términos cuadráticos o cúbicos.

Esta observación inicial nos dará pistas sobre qué método de factorización puede ser más apropiado para el polinomio en cuestión. A partir de esto, podemos utilizar alguno de los siguientes métodos, según sea el caso.

En la siguiente lista puedes encontrar una explicación breve y ejercicios de cada caso, pero en cada uno de los elementos encontrarás un enlace a la publicación donde puedes encontrar una explicación más detallada, así como una buena cantidad de ejercicios de cada caso:

Factor común:

El factor común de un polinomio es el elemento que se encuentra contenido en todos los términos del polinomio, el cual se extrae para conformar un producto. Ejemplo:

    \[2x^{2}+x\]

el factor común es X entonces:

    \[=x(2x+1)\]

Factor común por agrupación de términos:

Una de las formas más simples de factorizar un polinomio es identificando y sacando el factor común de los términos presentes. Este método implica buscar el factor que está presente en todos los términos del polinomio y luego factorizarlo fuera de los paréntesis. Luego, los términos restantes se agrupan y se factorizan nuevamente, si es posible. Ejemplo:

    \[=2x+1+x+3\]

    \[=(2x+x)+(1+3)\]

    \[=(3x+4)\]

Diferencia de cuadrados:

La diferencia de cuadrados es una identidad algebraica que se aplica cuando un polinomio es el resultado de la resta de dos términos cuadrados. La factorización de este tipo de polinomios implica reconocer la diferencia de cuadrados y aplicar la fórmula a^2 - b^2 = (a + b)(a - b).

Por ejemplo, considera el polinomio x^2 - 4. Aquí, podemos ver que es una diferencia de cuadrados, ya que x^2 es el cuadrado de x y 4 es el cuadrado de 2. Por lo tanto, podemos factorizar x^2 - 4 como (x + 2)(x - 2).

Suma y diferencia de cubos:

La suma y diferencia de cubos son identidades algebraicas que se aplican cuando un polinomio es el resultado de sumar o restar dos términos cúbicos. La factorización de este tipo de polinomios implica reconocer la suma o diferencia de cubos y aplicar las fórmulas a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) y a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).

Por ejemplo, considera el polinomio x^3 + 8. Aquí, podemos ver que es una suma de cubos, ya que x^3 es el cubo de x y 8 es el cubo de 2. Por lo tanto, podemos factorizar x^3 + 8 como (x + 2)(x^2 - 2x + 4).

Trinomio cuadrado perfecto:

Los trinomios cuadrados perfectos son polinomios cuadráticos que pueden ser expresados como el cuadrado de un binomio. Para reconocer un trinomio cuadrado perfecto, debemos verificar si el término cuadrático es el cuadrado de un término lineal y si el término constante es el cuadrado del mismo número. La factorización de estos trinomios implica aplicar la fórmula de cuadrado perfecto a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2.. Ejemplo:

    \[x^{2}+4x+4\]

    \[x^{2}+bx+c=(x+2)^{2}\]

Trinomio de la forma x^2+bx+c:

En este caso el primer termino tiene raíz exacta pero el ultimo termino no tiene raíz cuadrada exacta, ubicando dos números que multiplicados de C y sumados o restados de el coeficiente del segundo termino, de esta forma conformar el producto. Ejemplo:

    \[x^{2}+x-12\]

12=4.(-3)

1=4-3

entonces;

    \[x^{2}+x-12=(x+4)(x-3)\]

Trinomio de la forma ax^2+bx+c

A diferencia del caso anterior el primer termino su coeficiente es diferente a uno, donde este termino y el tercero no tienen raíz exacta, para ello es necesario convertir el trinomio en un polinomio de cuatro términos. Esto se logra descomponiendo el segundo termino en dos términos semejantes permitiendo factorizar el nuevo polinomio por agrupación de términos. Ejemplo:

    \[2x^{2}+3x+1\]

donde

    \[3x=2x+x\]

    \[=2x^{2}+2x+x+1\]

agrupamos términos

    \[=(2x^{2}+2x)+(x+1)\]

    \[=2x(x+1)+(x+1)\]

Aplicamos otro caso como factor común

    \[=(x+1).(2x+1)\]

Método o regla de Ruffini

 La aplicación de la regla de Ruffini permite determinar las raíces de un polinomio. El procedimiento consiste en seleccionar una posible raíz del polinomio en estudio, que multiplicara al primer coeficiente del polinomio, con el resultado realizaremos una suma algebraica, para repetir el procedimiento con el segundo coeficiente, en el momento en que el último resultado sea cero (0) habremos culminado; si no ocurre ésto, entonces debemos intentarlo con otra posible raíz.  Ejemplo:

Ejercicios resueltos de factorización de polinomios:

Ejercicio 1: Factorización de x^{2}+7x+12

Solución


Paso 1: Para factorizar x^{2}+7x+12, primero necesitamos encontrar dos números cuyo producto sea 12 y cuya suma sea 7. Estos números son 4 y 3, ya que 12=4\cdot3 y 7=4+3.

Paso 2: Ahora, calculamos la raíz del primer término del polinomio:

    \[\sqrt{x^{2}}=x\]

Paso 3: Luego, añadimos la raíz encontrada en el paso anterior al desarrollo de la factorización:

    \[x^{2}+7x+12=(x\hspace{1cm})(x\hspace{1cm})\]

Paso 4: Por último, agregamos los números definidos en el paso 1 al desarrollo de la factorización:

    \[x^{2}+7x+12=(x+4)(x+3)\]

Ejercicio 2: Factorización de 4x^{2}-11x+7

Solución


Paso 1: Buscamos dos números cuyo producto sea 4\cdot7=28 y cuya suma sea -11. Estos números son -4 y -7, ya que -4\cdot-7=28 y -4+(-7)=-11.

Paso 2: Descomponemos el término lineal en 2 términos cuyos coeficientes son los números hallados anteriormente:

    \[4x^{2}-4x-7x+7\]

Paso 3: Extraemos factor común «4x» en el primer y segundo término y «7» en el tercer y cuarto término, nos queda::

    \[4x^{2}-4x-7x+7= 4x(x-1) +7(-x+1)\]

O lo que es lo mismo:

    \[4x(x-1) -7(x-1)\]

Paso 4: Ahora podemos extraer factor común «x-1» y nos queda:

    \[(x-1)(4x -7)\]

Por lo tanto, 4x^{2}-11x+7=(x-1)(4x -7)

Ejercicio 3: Factorización de x^{2}-9

Solución


Paso 1: Dado que x^{2}-9 es una diferencia de cuadrados, podemos utilizar la fórmula de diferencia de cuadrados a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b). Aquí, a=x y b=3, ya que 9=3^{2}.

Paso 2: Aplicamos la fórmula de diferencia de cuadrados:

    \[x^{2}-9=(x+3)(x-3)\]

Ejercicio 4: Factorización de x^{3}+27

Solución


Paso 1: Observamos que x^{3}+27 es una suma de cubos, por lo que podemos aplicar la fórmula de suma de cubos a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}). Aquí, a=x y b=3, ya que 27=3^{3}.

Paso 2: Aplicamos la fórmula de suma de cubos:

    \[x^{3}+27=(x+3)(x^{2}-3x+9)\]

Ejercicio 5: Factorización de 4x^{2}-25

Solución


Paso 1: Reconocemos que 4x^{2}-25 es una diferencia de cuadrados, ya que 4x^{2} es el cuadrado de 2x y 25 es el cuadrado de 5. Por lo tanto, aplicamos la fórmula de diferencia de cuadrados.

Paso 2: Aplicamos la fórmula de diferencia de cuadrados:

    \[4x^{2}-25=(2x+5)(2x-5)\]

Ejercicio 6: Factorización de x^{2}+10x+25

Solución


Paso 1: Observamos que x^{2}+10x+25 es un trinomio cuadrado perfecto, ya que x^{2} es el cuadrado de x y 25 es el cuadrado de 5. Por lo tanto, podemos aplicar la fórmula de cuadrado perfecto a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}.

Paso 2: Aplicamos la fórmula de cuadrado perfecto:

    \[x^{2}+10x+25=(x+5)^{2}\]

Ejercicio 7: Factorización de x^{2}-6x+9

Solución


Paso 1: Dado que x^{2}-6x+9 es un trinomio cuadrado perfecto, podemos aplicar la fórmula de cuadrado perfecto a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}. Aquí, a=x y b=3, ya que 9=3^{2}.

Paso 2: Aplicamos la fórmula de cuadrado perfecto:

    \[x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}\]

Ejercicio 8: Factorización de 3x^{3}-27

Solución


Paso 1: Reconocemos que 3x^{3}-27 es una diferencia de cubos, ya que 3x^{3} es el cubo de x y 27 es el cubo de 3. Por lo tanto, aplicamos la fórmula de diferencia de cubos.

Paso 2: Aplicamos la fórmula de diferencia de cubos:

    \[3x^{3}-27=(x-3)(3x^{2}+3x+9)\]

Por supuesto, aquí tienes los ejercicios restantes:

Ejercicio 9: Factorización de 3x^{2}-8x+4

Solución


Paso 1: Buscamos dos números cuyo producto sea 3\cdot4=12 y cuya suma sea -8. Estos números son -6 y -2, ya que (-6)\cdot(-2)=12 y (-6)+(-2)=-8.

Paso 2: Descomponemos el segundo término en dos términos cuyos coeficientes son los números hallados en el paso 1.

    \[3x^{2}-6x-2x+4\)\]

Paso 3: Extraemos factor común «3x» del primer y segundo término y «-2» del tercer y cuarto término:

    \[3x(x-2)-2(x-2)\]

Paso 4: Ahora extraemos factor común «x-2» y nos queda:

    \[(x-2)(3x-2)\]

Finalmente:

    \[3x^{2}-8x+4=(x-2)(3x-2)\]

Ejercicio 10: Factorización de 9x^{2}-6x+1

Solución


Paso 1: Observamos que 9x^{2}-6x+1 es un trinomio cuadrado perfecto, ya que 9x^{2} es el cuadrado de 3x y 1 es el cuadrado de 1. Por lo tanto, podemos aplicar la fórmula de cuadrado perfecto a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}.

Paso 2: Aplicamos la fórmula de cuadrado perfecto:

    \[9x^{2}-6x+1=(3x-1)^{2}\]

Ejercicio 11: Factorización de 4x^{3}-64

Solución


Paso 1: Observamos que 4x^{3}-64 es una diferencia de cubos, ya que 4x^{3} es el cubo de 2x y 64 es el cubo de 4. Por lo tanto, aplicamos la fórmula de diferencia de cubos.

Paso 2: Aplicamos la fórmula de diferencia de cubos:

    \[4x^{3}-64=(2x-4)(4x^{2}+8x+16)\]

Ejercicio 12: Factorización de x^{2}+6xy+9y^{2}

Solución


Paso 1: Observamos que x^{2}+6xy+9y^{2} es un trinomio cuadrado perfecto, ya que x^{2} es el cuadrado de x y 9y^{2} es el cuadrado de 3y. Por lo tanto, podemos aplicar la fórmula de cuadrado perfecto a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}.

Paso 2: Aplicamos la fórmula de cuadrado perfecto:

    \[x^{2}+6xy+9y^{2}=(x+3y)^{2}\]

Ejercicio 13: Factorización de x^3 - 2x^2 - 5x + 6 mediante el método de Ruffini

Solución


Para utilizar el método de Ruffini, necesitamos una suposición inicial sobre una posible raíz del polinomio. Probemos con x = 1:

    \[ \begin{array}{c|cccc} 1 & 1 & -2 & -5 & 6 \\ \hline & & 1 & -1 & -6 \\ \end{array} \]

Al dividir x^3 - 2x^2 - 5x + 6 por x - 1, obtenemos un cociente de x^2 - x - 6, lo que nos lleva a factorizarlo nuevamente. Este trinomio puede ser factorizado como (x - 3)(x + 2). Entonces, la factorización completa del polinomio original es (x - 1)(x - 3)(x + 2).

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