Factorización de polinomios

Dentro de las operaciones con polinomios nos encontramos con una muy importante como lo es la factorización.

Factorización de polinomios

Se define factorización de un polinomio, al proceso en el cual un polinomio se expresa como producto de dos o mas polinomios, de grado menor o igual que el suyo, denominado factores.

Por ejemplo si tenemos el polinomio;

    \[(x^{2}+4x+4)\]

la factorización de este polinomio expresado en producto seria:

    \[(x+2).(x+2)=(x+2)^{2}\]

Casos de factorización

Para factorizar existen varios casos:

Factor común:

El factor común de un polinomio es el elemento que se encuentra contenido en todos los términos del polinomio, el cual se extrae para conformar un producto. Ejemplo:

    \[2x^{2}+x\]

el factor común es X entonces:

    \[=x(2x+1)\]

Factor común por agrupación de términos:

En este caso solo algunos términos tienen un elemento en común, por tal motivo se agrupan los términos con el elemento semejante y se extrae conformando un producto de dos o mas agrupaciones. Ejemplo:

    \[=2x+1+x+3\]

    \[=(2x+x)+(1+3)\]

    \[=(3x+4)\]

Diferencia de cuadrados:

Se origina del producto notable de la suma por su diferencia. Ejemplo:

    \[x^{2}-4\]

    \[x^{2}-4=(x+2)(x-2)\]

Trinomio cuadrado perfecto:

Es un trinomio cuyo primer y tercer termino tienen raíz exacta, y es el resultado de un producto notable del cuadrado de una suma o cuadrado de una diferencia. Ejemplo:

    \[x^{2}+4x+4\]

    \[x^{2}+bx+c=(x+2)^{2}\]

Trinomio de la forma x^2+bx+c:

En este caso el primer termino tiene raíz exacta pero el ultimo termino no tiene raíz cuadrada exacta, ubicando dos números que multiplicados de C y sumados o restados de el coeficiente del segundo termino, de esta forma conformar el producto. Ejemplo:

    \[x^{2}+x-12\]

12=4.(-3)

1=4-3

entonces;

    \[x^{2}+x-12=(x+4)(x-3)\]

Trinomio de la forma ax^2+bx+c

A diferencia del caso anterior el primer termino su coeficiente es diferente a uno, donde este termino y el tercero no tienen raíz exacta, para ello es necesario convertir el trinomio en un polinomio de cuatro términos. Esto se logra descomponiendo el segundo termino en dos términos semejantes permitiendo factorizar el nuevo polinomio por agrupación de términos. Ejemplo:

    \[2x^{2}+3x+1\]

donde

    \[3x=2x+x\]

    \[=2x^{2}+2x+x+1\]

agrupamos términos

    \[=(2x^{2}+2x)+(x+1)\]

    \[=2x(x+1)+(x+1)\]

Aplicamos otro caso como factor común

    \[=(x+1).(2x+1)\]

Método o regla de Ruffini

 La aplicación de la regla de Ruffini permite determinar las raíces de un polinomio. El procedimiento consiste en seleccionar una posible raíz del polinomio en estudio, que multiplicara al primer coeficiente del polinomio, con el resultado realizaremos una suma algebraica, para repetir el procedimiento con el segundo coeficiente, en el momento en que el último resultado sea cero (0) habremos culminado; si no ocurre ésto, entonces debemos intentarlo con otra posible raíz.  Ejemplo:

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