Rene Descartes y el Poder de los Polinomios

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1 Los Polinomios Según Descartes

René Descartes es ampliamente conocido como el padre de la filosofía moderna, aunque sus contribuciones a las matemáticas también son inmensas, especialmente en el ámbito de los polinomios, nacido en 1596, es quizá más famoso por su frase «Cogito, ergo sum» (Pienso, luego existo), pero su trabajo matemático también sentó las bases para la geometría analítica. Rene Descartes unió el álgebra y la geometría, haciendo posible expresar curvas a través de ecuaciones algebraicas. Esta innovación abrió las puertas al análisis de los polinomios.

Los Polinomios Según Descartes

La contribución de Descartes a los polinomios es fundamental. Estableció nuevos métodos para manejar ecuaciones algebraicas y demostró cómo se podían aplicar a situaciones geométricas.

Regla de los signos de Descartes

Por ejemplo, postuló su famosa «Regla de los signos de Descartes«, que ofrece una manera sistemática de determinar el número de raíces reales positivas y negativas de un polinomio.

Raíces positivas + :

Para contar cuántas raíces reales positivas puede tener un polinomio, primero se considera el polinomio original

$P(x)$ .

Se observa la secuencia de signos de los coeficientes de los términos del polinomio.

Cada vez que hay un cambio de signo (es decir, cuando se pasa de un coeficiente positivo a uno negativo, o viceversa), esto indica una posible raíz real positiva.

El número de cambios de signo es el número máximo de raíces reales positivas que puede tener el polinomio.

Si hay $k$ cambios de signo, el polinomio puede tener $k, k-2, k-4, \dots$ raíces reales positivas, es decir, puede reducirse en múltiplos de 2.

Raíces negativas – :

Para contar cuántas raíces reales negativas puede tener un polinomio, se evalúa el polinomio en $P(-x)$ , es decir, se cambia el signo de las potencias impares del polinomio.

Luego se aplica la misma regla: contar los cambios de signo en los coeficientes del polinomio modificado $P(-x)$ .

El número de cambios de signo es el número máximo de raíces reales negativas que puede tener el polinomio, y al igual que para las raíces positivas, el número de raíces puede reducirse en múltiplos de 2.

Ejemplo;

Consideremos el siguiente polinomio:

$P(x) = 2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - x + 7$

Para encontrar las posibles raíces positivas, observamos la secuencia de signos de los coeficientes de $P(x)$ :
$+2$ , $-3$ , $+5$ , $-1$ , $+7$ .
La secuencia de signos es: $+, -, +, -, +$ .
Hay cuatro cambios de signo, lo que significa que el polinomio puede tener 4, 2 o 0 raíces reales positivas.

Para encontrar las posibles raíces negativas, consideramos el polinomio evaluado en $P(-x)$ :

$P(-x) = 2(-x)^4 - 3(-x)^3 + 5(-x)^2 - (-x) + 7 = 2x^4 + 3x^3 + 5x^2 + x + 7$

Los signos de los coeficientes son: $+$ , $+$ , $+$ , $+$ , $+$ , sin ningún cambio de signo.
Esto significa que el polinomio no tiene raíces reales negativas.

Consideraciones

La regla de los signos es una herramienta útil en álgebra para estimar el número de raíces reales positivas y negativas de un polinomio al observar los cambios de signo de sus coeficientes, proporcionando una forma rápida de analizar la estructura del polinomio sin tener que resolverlo completamente.

Pero la regla de los signos de no da información exacta sobre las raíces complejas. No identifica las raíces exactas, solo el número máximo posible de raíces reales.
Puede haber menos raíces reales que las predichas, ya que el número de raíces reales puede reducirse en múltiplos de 2.